文章介绍了在解决某些积分问题时，如何利用分部积分法和换元法进行计算。通过两个例题，展示了如何运用这些技巧，第一个例子用到了换元法，第二个例子则需进行多次分部积分。这些方法对于处理复杂积分问题十分有用。
前置知识：分部积分法
换元法
有时候，一些函数的积分在用分部积分法时，为了解题方便和让思路更加明了，也需要用到换元。
例题
计算 ∫ e x d x \int e^{\sqrt x}dx ∫exdx
解：
\qquad
令
t
=
x
t=\sqrt x
t=x，则
x
=
t
2
x=t^2
x=t2，
d
x
=
d
(
t
2
)
=
2
t
d
t
dx=d(t^2)=2tdt
dx=d(t2)=2tdt
\qquad 原式 = ∫ e t ⋅ 2 t d t = 2 ∫ t d ( e t ) = 2 t e t − 2 ∫ e t d t = 2 t e t − 2 e t + C = 2 x e x − 2 e x + C =\int e^t\cdot 2tdt=2\int td(e^t)=2te^t-2\int e^tdt=2te^t-2e^t+C=2\sqrt xe^{\sqrt x}-2e^{\sqrt x}+C =∫et⋅2tdt=2∫td(et)=2tet−2∫etdt=2tet−2et+C=2xex−2ex+C
两次分部积分法
有一些函数的积分即使直接用分部积分法也不太好做，所以要用多次分部积分法。
例题
计算 ∫ e x cos x d x \int e^x\cos xdx ∫excosxdx
解：
\qquad
原式
=
∫
e
x
d
(
sin
x
)
=
e
x
sin
x
−
∫
sin
x
d
(
e
x
)
=\int e^xd(\sin x)=e^x\sin x-\int\sin xd(e^x)
=∫exd(sinx)=exsinx−∫sinxd(ex)
= e x sin x − ∫ sin x ⋅ e x d x = e x sin x + ∫ e x d ( cos x ) \qquad\qquad =e^x\sin x-\int \sin x\cdot e^xdx=e^x\sin x+\int e^xd(\cos x) =exsinx−∫sinx⋅exdx=exsinx+∫exd(cosx)
= e x sin x − e x cos x − ∫ e x cos x d x \qquad\qquad =e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\cos xdx =exsinx−excosx−∫excosxdx
\qquad 所以 ∫ e x cos x d x = e x sin x − e x cos x − ∫ e x cos x d x \int e^x\cos xdx=e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\cos xdx ∫excosxdx=exsinx−excosx−∫excosxdx
\qquad 得 ∫ e x cos x d x = 1 2 ( e x sin x + e x cos x ) + C = 1 2 e x sin x + 1 2 e x cos x + C \int e^x\cos xdx=\dfrac 12(e^x\sin x+e^x\cos x)+C=\dfrac 12e^x\sin x+\dfrac 12e^x\cos x+C ∫excosxdx=21(exsinx+excosx)+C=21exsinx+21excosx+C
总结
这些方法在一些分部积分法题目中一般不会用到，如果实在想不到常规做法，可以试着用这些方法。
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