CF1716F Bags with Balls

CF1716F Bags with Balls

题目大意

有$n$个袋子，每个袋子里面有$m$个球，分别标号为$1,2,\dots ,m$。

你需要在每个袋子中取一个球，然后计算出你取出的标号是奇数的球的数量，记这个数量为$F$，求所有可能的取球方案的$F^k$的和对$998244353$取模后的值。

有$t$组数据。

$1\le t\le 5000,1\le n,m\le 998244352,1\le k\le 2000$

题解

令$x$表示$m$个球中编号为奇数的球的个数，$y$表示$m$个球中编号为偶数的球的个数。那么$x=\lceil \frac{m}{2}\rceil$，$y=\lfloor \frac{m}{2}\rfloor$。
我们来推一下式子。枚举$F$值，题意即求

$\sum _{i=0}^n{i}^k\times C_n^i\times x^i{y}^{n-i}$

由第二类斯特林数可得$n^m=\sum _{i=0}^{m}S(m,k)\times C_n^k\times k!$，所以原式可变为

$\sum _{i=0}^n{C}_n^i\times x^i{y}^{n-i}\times \sum _{j=0}^{k}S(k,j)\times C_i^j\times j!$

$=\sum _{j=0}^{k}S(k,j)\sum _{i=0}^n\frac{n!}{i!(n-i)!}\times \frac{i!}{(i-j)!}\times x^i{y}^{n-i}$

将组合数拆开可得

$\sum _{j=0}^{k}S(k,j)\sum _{i=0}^n\frac{n!}{(n-i)!(i-j)!}{x}^i{y}^{n-i}$

$=\sum _{j=0}^{k}S(k,j)\frac{n!}{(n-j)!}\sum _{i=0}^n{C}_{n-j}^{n-i}{x}^i{y}^{n-i}$

枚举$n-i$可得

$\sum _{j=0}^{k}S(k,j)\frac{n!}{(n-j)!}\sum _{i=0}^{n-j}{C}_{n-j}^i{x}^{n-i}{y}^i$

$=\sum _{j=0}^{k}S(k,j)\frac{n!}{(n-j)!}\sum _{i=0}^{n-j}{C}_{n-j}^i{x}^j\cdot x^{n-i-j}{y}^j$

$=\sum _{j=0}^{k}S(k,j)\frac{n!}{(n-j)!}{x}^j(x+y{)}^{n-j}$

$=\sum _{j=0}^{k}S(k,j)\frac{n!}{(n-j)!}{x}^j{m}^{n-j}$

求出这个式子即可。

时间复杂度为$O(k^2+tk)$。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2000;
int T;
long long ans,ny,s[2005][2005];
long long mod=998244353;
long long mi(long long t,long long v){
	if(!v) return 1;
	long long re=mi(t,v/2);
	re=re*re%mod;
	if(v&1) re=re*t%mod;
	return re;
}
void init(){
	s[1][1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			s[i][j]=(s[i-1][j-1]+j*s[i-1][j]%mod)%mod;
		}
	}
}
int main()
{
	init();
	long long n,m,k;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
		ans=0;
		long long v=(m+1)/2;
		ny=mi(m,mod-2);
		long long tmp=n*v%mod*mi(m,n-1)%mod;
		for(int i=1;i<=min(n,k);i++){
			ans=(ans+s[k][i]*tmp%mod)%mod;
			tmp=tmp*(n-i)%mod*ny%mod*v%mod;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}