CF1763D Valid Bitonic Permutations

该问题涉及计算满足特定条件的拱形排列的数量,其中要求第i个位置的数为x,第j个位置的数为y,且x<y。文章解释了两种情况下的解决方案:k在i和j之间以及k在j右边,并使用组合公式进行计算。同时,文章提到了一些特殊情况的处理,如y等于n的情况。

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CF1763D Valid Bitonic Permutations

题目大意

拱形排列,指由 1 , 2 , … , n 1,2,\dots,n 1,2,,n组成的一个排列,从数值来看,必须是先上升后下降的。

给你五个数 n , i , j , x , y n,i,j,x,y n,i,j,x,y,求有多少个排列,满足第 i i i个数为 x x x,第 j j j个数为 y y y。输出答案模 1 0 7 9 10^9_7 1079

有多组数据。

1 ≤ n ≤ 100 1\leq n\leq 100 1n100 1 ≤ t ≤ 100 1\leq t\leq 100 1t100


题解

首先,我们要使 i < j , x < y i<j,x<y i<j,x<y。方法如下:

  • 如果 i > j i>j i>j,则交换 i , j i,j i,j,交换 x , y x,y x,y
  • 上面的操作进行后,如果 x > y x>y x>y,则 i = n − i + 1 i=n-i+1 i=ni+1 j = n − j + 1 j=n-j+1 j=nj+1,再交换 i , j i,j i,j,交换 x , y x,y x,y,相当于将序列前后翻转,这样求出的答案与原来的是等价的

k k k表示数字 n n n在序列中的位置,那么接下来,我们可以枚举 k k k

第一种情况: k k k i i i j j j中间

如果 k k k i i i j j j之间,则序列大致如下

在这里插入图片描述

首先看第一段, y + 1 y+1 y+1 n − 1 n-1 n1之间的数可以放在这一段中,要放 j − k − 1 j-k-1 jk

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