绍兴一中信心赛 T1排列

题目描述

有一个长度为$n$的序列$a$，现在对数列进行一些变换，每次可以选择一对$i,j$，满足$1\le i<j\le n$且$a_i>a_j$，然后将$a_i$和$a_j$交换。如果序列$b$可以由序列$a$经过若干次变换得到，那么称$b$是可达的。求有多少种不同的可达的序列，输出答案模$1000000007$。

输入格式

第一行一个数$n$，接下来一行$n$个数，分别为$a_1,a_2,\dots ,a_n$，保证这是$n$的一个排列。

输出格式

输出一个整数，表示答案对$1000000007$取模后的值。

样例输入

4
2 4 1 3

样例输出

8

样例解释

可达的排列有 2413, 2314, 2143, 2134, 1423, 1243, 1324, 1234。

数据范围

对于$20\%$的数据，$1\le n\le 10$
对于$40\%$的数据，$1\le n\le 15$
对于$100\%$的数据，$1\le n\le 20$

题解

我们来考虑一下序列可达的条件是什么。

如果这不是$n$的排列，而是$01$序列的话，那么条件很显然：对于任意的$i$，序列$b$从右往左的第$i$个$1$都位于序列$a$从右往左的第$i$个$1$的右边（不一定严格，可以在同一个位置），那么$a$就可以到达$b$。

对于一个排列$a$以及一个数$k$，把$a$中大于等于$k$的数标为$1$，剩下的数标为$0$，那么就能得到一个$01$序列。如果对于任意的$k$，排列$a$对应的$01$序列都能够到达排列$b$，那么排列$a$就能到达排列$b$。

如果排列$b$不满足条件，那么排列$a$一定不能到达排列$b$。但为什么只要排列$b$满足条件，排列$a$就一定能够到达排列$b$呢？

我们可以让$i$从$1$到$n$，每次将数字$i$移到目标位置，令当前位置为$l$，目标位置为$r$，当前$(l,r]$区间的最大数字为$a_j$，则让$a_l$和$a_j$交换即可。

那要怎么实现呢？

设$f_{i,j}$表示当前从大到小放到第$i$个数字，且按大于等于$i$为$1$，小于$i$为$0$来构成的$01$串为$j$，此时的方案数。要保证在枚举过程中$01$串要满足上面的条件。一开始是全$0$的$01$串，答案是全$1$的$01$串。

时间复杂度为$O(n\cdot 2^n)$。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,tot=0,a[25],d[2000005],l[2000005],r[2000005];
long long f[25][1<<20];
long long mod=1000000007;
void add(int xx,int yy){
	l[++tot]=r[xx];d[tot]=yy;r[xx]=tot;
}
int gt(int s){
	int re=0;
	while(s){
		re+=s&1;s>>=1;
	}
	return re;
}
bool pd(int s,int t){
	int w=0;
	for(int i=n;i>=1;i--){
		if(t&(1<<i-1)) ++w;
		if(a[i]>=s) --w;
		if(w<0) return 0; 
	}
	return 1;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	for(int s=0;s<(1<<n);s++){
		add(gt(s),s);
	}
	f[n+1][0]=1;
	for(int s=n;s>=1;s--){
		for(int i=r[n-s+1];i;i=l[i]){
			if(!pd(s,d[i])) continue;
			for(int j=1;j<=n;j++){
				if(d[i]&(1<<j-1)){
					f[s][d[i]]=(f[s][d[i]]+f[s+1][d[i]^(1<<j-1)])%mod;
				}
			}
		}
	}
	printf("%lld",f[1][(1<<n)-1]);
	return 0;
}