【省选模拟测试23 T1直径】更好的做法

题目大意和普通做法

省选模拟测试23 T1直径

题解

对于上文中有三个儿子的根节点的树，其直径数量为$ab+bc+ca$。那么对于上文中有$n$个儿子的根节点的树，其直径数量为多少呢？

每个儿子所在子树中的点与其他儿子所在子树中的点都能组成一次直径，而两个点都能组成一次直径，所以要除以2。设第$i$个儿子的儿子数量为$a_i$，则直径数量为

$$\frac{(\sum a_i{)}^2-\sum a_i^2}{2}$$

要让$k=\frac{(\sum a_i{)}^2-\sum a_i^2}{2}$，即$2k=(\sum a_i{)}^2-\sum a_i^2$。

根据题意，$1+\sum (a_i+1)\le 10^5$，于是我们可以枚举$\sum a_i$。

令所有的$a_i=1$，那么最多能有$n\times n-n$条直径。$5000\times 5000-5000>5000000$，这些对于题目来说是绰绰有余的了。

枚举找到第一个$v=\sum a_i$，使得$v\ast v-v\ge 2k$。

对于多出的部分，我们可以将若干个$a_i$组合起来，达到减少更多的效果。

比如，将两个值为1的$a_i$合并为一个值为2的$a_i$，原来减少贡献为$1^2+1^2=2$，现在贡献为$2^2=4$，增加了$2$。

当然，如果合并三个或更多，则减少的也会更多。找到一种方法，使其减少到正好为$2k$即可。

时间复杂度为$O(n+k)$。

这种方法相对于上一种方法来说正确性更高，而且运行速度也相差不大。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,v,now,hv,tot=0,w,vt,a[5005];
struct node{
	int x,y,z;
}ans[5005];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=5000;i++){
		if(i*i-i>=n*2){
			v=i;break;
		}
	}
	now=v*v-v-n*2;hv=v;
	for(int i=v;i>=2;i--){
		while(now>=i*i-i&&hv>=i){
			now-=i*i-i;hv-=i;
			a[++w]=i;
		}
	}
	for(int i=1;i<=w+hv;i++){
		ans[++vt]=(node){1,i+1,10000+(i>w)};
	}
	tot=w+hv+1;
	for(int i=1;i<=w;i++){
		for(int j=1;j<=a[i];j++){
			ans[++vt]=(node){i+1,++tot,1};
		}
	}
	printf("%d\n",tot);
	for(int i=1;i<=vt;i++){
		printf("%d %d %d\n",ans[i].x,ans[i].y,ans[i].z);
	}
	return 0;
}