选盒子问题

故事描述

有三个外形相同盒子，有一个盒子中有神秘大奖，另外两个是空的。一开始你随机选了一个盒子，然后我告诉你另外两个盒子中的一个空盒子并打开这个盒子来证明它是空的。现在你有一次机会换一个盒子，那么对于换盒子和不换盒子，哪个中奖的概率大？

讲解

答案是换一个盒子的概率大。

一开始，你选中了一个盒子，中大奖的概率是$\frac{1}{3}$，另外两个盒子中有大奖的概率是$\frac{2}{3}$。在这两个盒子中打开一个空盒，那么这个空盒的中奖概率显然为$0$，那么另一个盒子中奖的概率为$\frac{2}{3}$。$\frac{1}{3}<\frac{2}{3}$，所以换一个盒子的中奖概率大。

有的人可能觉得开了一个空盒，那么另外两个盒子中奖的概率应该都变为$\frac{1}{2}$呀，怎么一个盒子中奖的概率还能叠加到另一个盒子上呢？

我们来分类讨论一下。把你一开始选择的盒子称为盒1，另外两个盒子称为盒2和盒3。

• 如果大奖在盒1，则不换盒子能中奖，换盒子不能中奖
• 如果大奖在盒2，则打开的空盒只能是盒3，不换盒子不能中奖，换盒子能中奖
• 如果大奖在盒3，则打开的空盒只能是盒2，不换盒子不能中奖，换盒子能中奖

综上所述，不换盒子中奖的概率是$\frac{1}{3}$，换盒子中奖的概率是$\frac{2}{3}$。

为什么会这样呢？因为只要你没选的那两个盒子中有大奖，那么打开一个空盒子后，另一个盒子中一定是大奖，也就是说在这种情况下，换盒子一定中奖。而大奖在这两个盒子的概率为$\frac{2}{3}$，所以换盒子中奖的概率为$\frac{2}{3}$。