ARC142E Pairing Wizards-优快云博客

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该问题描述了一群法师需要增强自己的实力以击败特定强度的怪物。可以通过增加法师的强度进行操作。目标是找到使每对法师满足条件的最小操作次数。解决方案涉及到了图论中的最小割问题，通过构建网络流模型并求解最大流来确定最小操作数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

ARC142E Pairing Wizards

题目大意

有 $n$ 个法师，编号为 $1$ 到 $n$ 。法师 $i$ 有强度 $a_i$ ，他计划打败强壮度为 $b_i$ 的怪物。

你可以执行以下操作任意次：

选中一个法师，将它的强壮度增加1

一对法师 $(i, j)$ 称为好的，当至少满足以下条件之一：

法师 $i$ 至少有 $b_i$ 的强壮度，法师 $j$ 至少有 $b_j$ 的强壮度
法师 $i$ 至少有 $b_j$ 的强壮度，法师 $j$ 至少有 $b_i$ 的强壮度

你的目标是对于 $i=1,\dots,m$ ，使得 $x_i,y_i)$ 称为一对好的法师。求最小的操作数量。

题解

首先，令 $mn_x=\max\limits_{(x,y)\in E}(\min(b_x,b_y))$ 。如果 $a_x<mn_x$ ，则不断增加 $a_x$ 使得 $a_x=mn_x$ 。

如果 $b_x>a_x$ ，则 $x$ 属于 $X$ 集合；如果 $b_x\leq a_x$ ，则 $x$ 属于 $Y$ 集合。我们把每一对法师看作一条边，因为上面对 $a_x$ 的改变，所以每条边中至少有一个点在 $Y$ 集合中。

每个 $X$ 集合的点 $x$ 对应一个点 $x$ ，每个 $Y$ 集合中的点 $y$ 和一个在1到100之间的值 $a$ 对应一个点 $(y, a)$ 。我们可以按如下方法建图，那么答案为最小割，即最大流，用网络流即可解决。

对于 $i\in X$ ，连边 $s,i,b_i-a_i)$
对于 $i\in Y$ ，连边 $((i, j), t, 1)$
对于 $i\in Y$ ，连边 $((i,j),(i,j-1),\infty)$
对于 $(i,j)\in E,i\in X,j\in Y,b_i>a_j$ ，连边 $(i,(j,b_i-a_j),\infty)$

如果要使 $a_x\geq b_x$ ，则割第一类边；如果要使 $a_x\geq b_y,a_y\geq b_x$ ，则割第二类边。因为无限的影响，第三类边只能将 $j$ 值小的放在 $s$ 的一边， $j$ 值大的放在 $t$ 的一边，第四类边不会被割。这样就可以求最小的操作数了。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,x,y,ans=0,vt=0,s,t,v1=0,v2=0,inf=1e9,a[105],b[105],mn[105],on[105],re[105];
int tot=1,cs[100005],l[100005],r[100005],w[100005],d[100005],vd[100005];
struct node{
	int x,y;
}vw[10005];
void add(int xx,int yy,int zz){
	l[++tot]=r[xx];cs[tot]=yy;r[xx]=tot;w[tot]=zz;
}
int aug(int i,int augco){
	if(i==t) return augco;
	int augc=augco,dl=0,md=n-1;
	for(int u=r[i];u;u=l[u]){
		int j=cs[u];
		if(w[u]>0){
			if(d[i]==d[j]+1){
				dl=min(augc,w[u]);
				dl=aug(j,dl);
				w[u]-=dl;
				w[u^1]+=dl;
				augc-=dl;
				if(d[s]>=n) return augco-augc;
				if(!augc) break;
			}
			if(md>d[j]) md=d[j];
		}
	}
	
	if(augco==augc){
		--vd[d[i]];
		if(!vd[d[i]]) d[s]=n;
		d[i]=md+1;
		++vd[d[i]];
	}
	return augco-augc;
}
void sap(){
	vd[0]=n;
	while(d[s]<n) ans+=aug(s,inf);
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	s=++vt;t=++vt;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);mn[i]=a[i];
	}
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		vw[i]=(node){x,y};
		mn[x]=max(mn[x],min(b[x],b[y]));
		mn[y]=max(mn[y],min(b[x],b[y]));
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans+=mn[i]-a[i];a[i]=mn[i];
		if(a[i]<b[i]){
			add(s,i+2,b[i]-a[i]);add(i+2,s,0);
		}
		else{
			re[i]=++v2;on[i]=1;
			for(int j=1;j<=100;j++){
				add(2+n+(i-1)*100+j,t,1);add(t,2+n+(i-1)*100+j,0);
				if(j>1){
					add(2+n+(i-1)*100+j,2+n+(i-1)*100+j-1,inf);
					add(2+n+(i-1)*100+j-1,2+n+(i-1)*100+j,0);
				}
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		x=vw[i].x;y=vw[i].y;
		if(on[x]==0&&on[y]==1){
			if(b[x]>a[y]){
				add(x+2,2+n+(y-1)*100+b[x]-a[y],inf);
				add(2+n+(y-1)*100+b[x]-a[y],x+2,0);
			}
		}
		else if(on[x]==1&&on[y]==0){
			swap(x,y);
			if(b[x]>a[y]){
				add(x+2,2+n+(y-1)*100+b[x]-a[y],inf);
				add(2+n+(y-1)*100+b[x]-a[y],x+2,0);
			}
		}
	}
	n=2+n+n*100;
	sap();
	printf("%d",ans);
	return 0;
}