函数的连续

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函数的连续

当自变量的改变量 $Δx→0\Delta x\rightarrow0$ 函数的改变量 $Δy→0\Delta y\rightarrow 0$ ，则称函数在点 $f(x_0)$ 处连续。

$lim⁡Δx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]=0\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0$
$lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$

若 $lim⁡x→x0+f(x)=f(x0)\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=f(x_0)$ ，则称 $f$ 在点 $x_0$ 处左连续

若 $lim⁡x→x0−f(x)=f(x0)\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=f(x_0)$ ，则称 $f$ 在点 $x_0$ 处右连续

证明函数连续

求证： $cos⁡x,sin⁡x\cos x,\sin x$ 在定各自的义域内每一点都连续。

解：
$lim⁡Δx→0cos⁡(x0+Δx)=cos⁡x0cos⁡Δx−sin⁡Δxsin⁡x0=cos⁡x0+0=cos⁡x0\qquad \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\cos(x_0+\Delta x)=\cos x_0\cos\Delta x-\sin \Delta x\sin x_0=\cos x_0+0=\cos x_0$

$lim⁡Δx→0sin⁡(x0+Δx)=sin⁡x0cos⁡Δx+cos⁡x0sin⁡Δx=sin⁡x0+0=sin⁡x0\qquad \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\sin(x_0+\Delta x)=\sin x_0\cos\Delta x+\cos x_0\sin \Delta x=\sin x_0+0=\sin x_0$