穷举法探究

一.穷举算法的核心是什么？

我想要抓住两点：

     1.多重循环（不能遗漏，也不能重复）。

     2.变量之间的关联。(分为数学上的关联和计算机上表现出来的关联。)

     3.各变量的取值范围尽可能满足要求的情况下缩小。

二.算法举例

问题一： （百钱买百鸡问题）大约在公元5世纪，数学家张邱建在他的《算经》中提出了一个闻名于后世的百钱百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，翁、母、雏各几何？

1.第一个问题，变量有哪些？

三个变量，x,y,z。

2.第二个问题，变量的数学关联和计算机编程时优化的关联？

x+y+z=100;5x+3y+1/3*z=100

以上是数据关联，我们面对第一个问题，三分之一在计算机里并不能很好的表示？第二个问题，变量x,y,z的变化范围？穷举算法特点是算法简单，但运行时所花费的时间量大。因此，我们在用穷举方法解决问题时，应尽可能将明显的不符合条件的情况排除在外，以尽快取得问题的解。 这样我们就要思考将一些数学关联优化成计算机喜欢的关联方式。

以下是关系式的转化过程：

x+y+z=100;15x+9y+z=300

可得：

7*x+4*y==100; z=100-x-y;

注：第一个关系式的变量x,y,z的取值范围在0~100；

        第二个关系式的变量取值范围x是0~20，y是0~33；z是0~100；

        最后一个关系式的变量取值范围是0≤x≤14,0≤y≤25.z是0~100；

#include<stdio.h>
void main()
{
   int x,y,z;
   for(x=0;x<=14;x++)
         for(y=0;y<=25;y++)
            if(7*x+4*y==100)      //本来是三重循环现在优化成两重循环，并且变量范围缩小，循环次数也大大缩小。
{
                 z=100-x-y;
                     printf("x=%d,y=%d,z=%d\n",x,y,z);
}
}

问题二 ： （谁做的好事）已知有有四位同学中的一位做了好事，不留名，表扬信来了之后，校长问这四位是谁做的好事。

A说：不是我。
B说：是C。
C说：是D。
D说：他胡说。
已知三个人说的是真话，一个人说的是假话。现在要根据这些信息，找出做了好事的人。

第一个问题数学关联？

这里不易找到纯数学的关联，但有逻辑上的关联。有4个关系表达式：

 thisman!=‘A’

thisman==‘C’

thisman==‘D’

 thisman!=‘D’

逻辑表达式的计算结果只有0（假）和1（真）两种结果。现在“已知三个人说的是真话，一个人说假话”，也就是表中的4个关系表达式中有3个是真的，1个是假的。

因此4个关系表达式的值的和应该等于3。定义变量cond表示四个关系表达式的和cond= thisman!=‘A’+ thisman==‘C’+ thisman==‘D’+thisman!=‘D’，那么，cond==3

#include<stdio.h>

enum goodman {A,B,C,D};

void EnumToGdman(enum goodman man)

{

switch(man)

     {

     case 'A': printf("做好事的人是：A");break;

     case 'B': printf("做好事的人是：B");break;

     case 'C': printf("做好事的人是：C");break;

     case 'D': printf("做好事的人是：D");break;

    }

}

void main()
{ enum goodman thisman;
int cond;
for(thisman='A'; thisman<='D';thisman++)
{
          cond=(thisman!=‘A’)+(thisman==‘C’)
                    +(thisman==‘D’)+(thisman!=‘D);
if(cond==3)
　　EnumToGdman(thisman);
}
}