球色问题

本文探讨了一个有趣的数学问题:从含有五种颜色小球的箱子里,人们抽取两个小球,要确保两人抽到完全相同颜色组合的小球,至少需要多少人参与。通过直观的图表展示所有可能的组合,并给出了答案。

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        问题:一个不透明的箱子里共有红,黄,蓝,绿,白五种颜色的小球,各个小球的数量非常多而且接近相等,每种颜色的小球大小相同,质量相等,每个人从篮子里抽出两个小球,请问至少需要多少个人抽,才能保证有两个人抽到的小球颜色全部相同?

        思路:箱子不透明,球的数量很多、且每种球的数量接近、大小相等、质量相当这些条件估计是想说明,每种球出现的概率是相等的。(其实也是一个误导方向,因为解法和概率没什么直接的关系。)

        每人抽两个球,然后问什么时候会出现两个球的颜色都和之前的某个人相同。注意是只要手上的两个球和别人的都相同就行了,两个球不一定是同色。

        运气最好的情况下,第二个人抽的和第一个人抽的颜色相同。但是,这个显然不是题目需要的答案,因为它问的是一定要出现相同,不是有可能相同。于是想想看,这些球能组合成多少不同的对。画个图看比较直接一点。


        从图中可以看出,浅灰色底纹的那些组合就是无重复的组合,一共15组。那么运气最差的情况下,前15人抽了完全不同的,那么第16个无论抽什么都会与之前的重复。


### 关于问题中最长距离计算 对于问题中的最长距离计算,这类问题通常涉及到图论的应用。具体来说,在给定一组以及它们之间的连接关系(即形成一个无向图),目标是在满足特定颜色约束条件下寻找两个同之间最远的距离。 #### 问题描述 假设存在N个编号为1至N的小,并且这些小通过M条边相连构成了一棵树形结构。现在需要对这N个小进行两种颜色的着操作,使得任意一条路径上会连续出现超过K个相同颜色的小。在此基础上,求解能够得到的最大直径长度——也就是两颗同节点间最大可能存在的简单路径上的边数[^1]。 #### 解决方案概述 为了有效解决上述提到的问题,可以采用如下方法: - **预处理阶段**:先利用深度优先搜索(DFS)遍历整棵树来获取每个结点的高度信息;接着再执行一次自底向上式的第二次DFS过程用于记录下每一个子树内部所能形成的最佳答案。 - **核心逻辑实现** - 对于任一非叶子节点v而言,其贡献值等于它所连通的所有孩子u中最大的那个`f[u]+1`加上第二大的那个`g[u]+2`。(这里定义函数f(x),表示以x为根节点向下延伸出去的一侧链表里符合条件的最大长度;而g(x)则代表除掉刚才那部分之后剩余部分里的最优解) - **最终结果更新方式**: 在完成所有顶点的信息收集工作以后, 整张图表内的全局最优解就应该是各个位置处局部极值当中的最高者。 ```python from collections import defaultdict def dfs(node, parent, adj_list, color, k): max_dist = second_max_dist = 0 for neighbor in adj_list[node]: if neighbor != parent and (color[neighbor] == color[node]): dist = dfs(neighbor, node, adj_list, color, k) + 1 if dist >= max_dist: second_max_dist = max_dist max_dist = dist elif dist > second_max_dist: second_max_dist = dist global answer answer = max(answer, max_dist + second_max_dist) return min(max_dist, k) n, m, k = map(int, input().split()) colors = list(map(int, input().split())) adjacency_list = [[] for _ in range(n)] for i in range(m): u, v = map(int, input().split()) adjacency_list[u-1].append(v-1) adjacency_list[v-1].append(u-1) answer = 0 dfs(0, None, adjacency_list, colors, k) print(answer) ``` 此代码片段实现了基于贪心策略下的问题解答框架,其中包含了必要的输入读取、邻接表构建以及两次递归调用来分别计算单侧链条长度与整体优化后的最大跨度值。
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