【动态规划】子数组系列（一）

📝前言说明：

• 本专栏主要记录本人的基础算法学习以及LeetCode刷题记录，按专题划分
• 每题主要记录：（1）本人解法 + 本人屎山代码；（2）优质解法 + 优质代码；（3）精益求精，更好的解法和独特的思想（如果有的话）
• 文章中的理解仅为个人理解。如有错误，感谢纠错

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53. 最大子数组和

题目链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/description/

个人解

思路：

• dp[i]：以 i 位置为结尾的所有子数组中的最大子数组和【没要求子数组的开头从 0 开始】
• 状态转移：以i位置为结尾的所有子数组可以分成两类
  • 一类：元素个数1
  • 另一类：元素个数>1（而对于元素个数 >1 的子数组，不看i位置的元素，它们都是以i - 1位置结尾的子数组）
• 所以可以推出状态转移方程：dp[i] = max(nums[i], dp[i - 1] + nums[i])
• 初始化：dp[0] = nums[0]
• 填表顺序：从左往右
• 返回值：遍历一遍，找到最大值

用时：10:00
屎山代码：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) 
    {
        int n = nums.size();
        vector<int> dp(n, 0);
        dp[0] = nums[0];
        int ans = nums[0];
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            dp[i] = max(nums[i], nums[i] + dp[i - 1]);
            if(dp[i] > ans)
                ans = dp[i]; // 同时记录出现的最大值
        }
        return ans;
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

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918. 环形子数组的最大和

题目链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-sum-circular-subarray/description/

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优质解

思路：

• 我们的子数组的形态有两种：首位不想连，首位相连。
• 对于首位不想连，和上一题一样。
• 对于首位相连的子数组，则数组中间必有连续的一段是空出来的，而这一段一定是数组的最小和连续子数组，通过数组所有元素的和减去这一段最小和：sum - gmin就可以得到最大和。

代码：

class Solution {
public:
    int maxSubarraySumCircular(vector<int>& nums) 
    {
        int n = nums.size();
        vector<int> dp_max(n, 0);
        auto dp_min = dp_max;
        dp_max[0] = nums[0];
        dp_min[0] = nums[0];
        int gmax = nums[0], gmin = nums[0], sum = nums[0];
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            sum += nums[i];
            dp_max[i] = max(nums[i], dp_max[i - 1] + nums[i]);
            gmax = max(gmax, dp_max[i]);
            dp_min[i] = min(nums[i], dp_min[i - 1] + nums[i]);
            gmin = min(gmin, dp_min[i]);
        }
        return gmin == sum ? gmax : max(gmax, sum - gmin); // 防止一下全是负数
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

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152. 乘积最大子数组

题目链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-product-subarray/description/

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优质解

思路：

• dp[i] = max(nums[i], dp[i - 1] * nums[i])不行，因为有正负号的问题
  • 前面的最小值，有可能因为后面的数是负数，而变成最大值
• 所以我们可以多记录最小值，在进行dp更新的时候，还要依据最小值的表

代码：

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) 
    {
        int n = nums.size();
        vector<int> dp_max(n, 0);
        auto dp_min = dp_max;
        dp_max[0] = nums[0]; dp_min[0] = nums[0];
        int ans = nums[0];
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            if(nums[i] >= 0)
            {
                dp_max[i] = max(nums[i], dp_max[i - 1] * nums[i]);
                dp_min[i] = min(nums[i], dp_min[i - 1] * nums[i]);
            }
            else
            {
                dp_max[i] = max(nums[i], dp_min[i - 1] * nums[i]);
                dp_min[i] = min(nums[i], dp_max[i - 1] * nums[i]);
            }
            ans = max(ans, dp_max[i]);
        }
        return ans;
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

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1567. 乘积为正数的最长子数组长度

题目链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-length-of-subarray-with-positive-product/description/

个人解

思路：

• 开一个最长的正的，开一个最长的负的
• 注意一些细节问题

用时：10:00
屎山代码：

class Solution {
public:
    int getMaxLen(vector<int>& nums) 
    {
        int n = nums.size();
        vector<int> dp_po(n, 0);
        auto dp_ne = dp_po;
        if(nums[0] != 0)
            nums[0] > 0? dp_po[0] = 1: dp_ne[0] = 1;
        int ans = dp_po[0];
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            if(nums[i] > 0)
            {
                dp_po[i] = dp_po[i - 1] + 1;
                dp_ne[i] = dp_ne[i - 1] > 0 ? dp_ne[i - 1] + 1 : 0; // +1 的前提是已经有子数组了（即长度不为 0 ）
            }
            else if(nums[i] < 0)
            {
                dp_po[i] = dp_ne[i - 1] > 0? dp_ne[i - 1] + 1 : 0;
                dp_ne[i] = dp_po[i - 1] + 1;
            }
            else{
                dp_ne[i] = dp_po[i] = 0;
            }
            ans = max(ans, dp_po[i]);
        }
        return ans;
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

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