【算法导论】第十一章 散列表 学习笔记

散列表

散列表（hash table）是实现字典操作的一种有效数据结构。尽管在最坏的情况下，在散列表中的查找一个元素的时间与链表中查找的时间相同，为$O(n)$。在一下合理的假设下，在散列表中查找一个元素的时间复杂度为$O(1)$ 。在散列表中不是直接把关键字作为数组的下标，而是根据关键字计算出相应的下标。

直接寻址表

当关键字的全域$U$比较小时，直接寻址法是简单而有效的。设$U={0,1,2,…,m-1}$，且假设任意两个元素不具有相同的关键字。则数组的大小应为m。

散列表

直接寻址技术的显著缺点是：如果全域$U$非常大，则在一台标准的计算机可用内存中，要存储大小为$|U|$的一张表$T$非常不现实。并且，实际存储的关键字集合$K$相对$U$来说也许很小。这样分配给$T$的空间就大部分被浪费了。

散列表即：利用散列函数(hash function)$h(k)$，有关键字$k$计算出槽的位置，函数$h$将关键字的全域$U$映射到散列表(hash table)的槽位上。

存在问题：两个关键字可能会映射到同一个槽中，这叫冲突。如何解决这种冲突？

1. 尽量避免冲突：试图选择一个散列函数能避免冲突或使冲突次数最小化。实际上，散列这个术语的原意就是随机混杂和拼凑，即体现了这种思想。
2. 完全避免冲突几乎是不可能的，所以还是需要有解决冲突的办法
   
   1. 链接法
   2. 开放寻址法

链接法

操作的时间复杂度：

插入HASH_INSERT(T,x)：在链表表头进行插入O(1)，前提是假设插入的元素没有出现在表中。否则需要先查找。

删除HASH_DELETE(T,x)：O(1)，前提是假设链表为双向链表（这里没看懂，为什么双向链表可以不用在T中找x?）。否则需要先找到x的前驱节点，这样复杂度就等同于查找的复杂度。

查找HASH_SEARCH(T,k)：定义T的装载因子为$\alpha=n/m$ ，即一个链表的平均存储元素个数。则查找操作的时间复杂度由两部分组成：

• 查找失败：$\Theta(1+\alpha)$，在简单均匀散列的假设下，任何尚未被存储在表中的关键字k，都等可能的被散列到m个槽中，在槽中的查找时间为$，\Theta(\alpha)$，1则为计算$h(k)$的时间
• 查找成功：$\Theta(1+\alpha)$，根据复杂计算所得…

所以查找操作的时间复杂度为$\Theta(1+\alpha)$。这意味着，如果散列表中槽数至少与表中的元素个数成正比，则查找操作平均也只需要常数的时间——$O(1)$

思考：

算法导论练习题：11.2-3

题目：对链表法进行改进，保证链表有序，则散列性能能得到较大的提高。试分析这种改动对成功查找、失败查找、插入和删除的运行时间各有什么影响？

• 插入：由于链表有序，用插入排序比较合适，此时为时间复杂度为$O(n/m)=O(\alpha)$
• 成功查找和失败查找：二分法 $O(lg\alpha)$
• 删除：与查找线性相关 $O(lg\alpha)$

散列函数

1. 除法散列法
   
   • $h(k)=k~mod~m$，对m的选择敏感，m一般**不为**2的幂。
2. 乘法散列法
   
   • 优点是对m的选择不敏感，m一般为2的幂。
3. 全域散列法
   
   • 随机的选择散列函数，使之独立于存储的关键字k。随机化保证了没有那种输入会始终导致最坏的性能出现（类似于快排中随机选择povio）。

开放寻址法

所有元素都存放在散列表里，也就是说每个表项或包含动态集合中的一个元素，或包含NIL。当查找某个元素时，要系统的检查所有的表项，直到找到所需元素，或最终查明改元素不在表中。与链表法不一样，这里既没有链表，也没有元素存放在散列表以外，因此开放寻址法中，散列表可能会被填满，且导致装载因子$\alpha$一定不超过1。

因为不用存储指针，所以用链表法存储指针的空间在这里可以用来存储元素，即用相同的空间存储了更多的元素槽，潜在的减少了冲突提高了检索速度。

线性探查

$$h(k,i)=(h'(k)+i)~mod~m,~~i=0,1,...,m-1$$

存在一次集群现象，随着连续被占用的槽不断增加，平均查找时间也不断增加。当一个空槽前有i个满的槽时，该空槽为下一个将被占用的概率是$(i+1)/m$。

二次探查

$$h(k,i)=(h'(k)+c_1i+c_2i^2)~mod~m$$

同样存在二次集群现象，但程度较轻。

双重散列

$$h(k,i)=(h_1(k)+ih_2(k))~mod~m$$

开放寻址法分析

像在链表法中一样，开放寻址法的分析也是以散列表的装载因子$\alpha$来表达的。

定理11.6 给定一个装载因子为$\alpha=n/m<1$的开放寻址散列表，并假设是均匀散列的，则对于每一次不成功的 查找，其期望探查次数至多为$1/(1-\alpha)$。

定理11.8 给定一个装载因子为$\alpha=n/m<1$的开放寻址散列表，并假设是均匀散列的，则对于每一次成功的 查找，其期望探查次数至多为$\frac{1}{\alpha}ln \frac{1}{1-\alpha}$。

定理11.7 假设采用的是均匀散列，平均情况下，向一个装载因子为$\alpha$的开放寻址散列表中插入一个元素至多需要$1/(1-\alpha)$次探查。

完全散列

当关键字是静态（即关键字集合一旦存入后就不改变）时，完全散列技术也能提供出色的最坏情况性能，如果用该方法进行查找，能在最坏情况下用$O(1)$次访问完成。