19、控制系统分析与识别：LPWM - GBPF方法解析

控制系统分析与识别：LPWM - GBPF方法解析

1. 研究背景与基础理论

在控制系统分析和识别领域，存在多种分段常数基函数（PCBFs），如哈尔函数、拉德马赫函数、沃尔什函数等。其中，块脉冲函数（BPF）因其简单性和在系统分析与应用中的优势，显得尤为突出。相较于同一类别的其他PCBFs，BPF集在众多应用中被证明更有效、更优雅。

传统的BPF集于1977年由Chen等人引入，而广义BPF集（GBPF）则在1987年由Wang等人提出。不过，当时研究者并未清晰揭示GBPF集相对于传统BPF集的优势，所以传统BPF集仍广受欢迎。

2. 线性脉宽调制广义块脉冲函数（LPWM - GBPF）的提出

为了解决传统方法的一些问题，引入了一种新的线性脉宽调制广义块脉冲函数（LPWM - GBPF）。这种函数集的优势在于，其特定成员可以进行唯一表征，这对于分析目的十分有利。此前，Kwong和Chen在1981年使用传统BPF开发了卷积矩阵，并用于解决线性反馈系统识别问题，但该技术存在缺陷，会导致振荡结果而失败。而LPWM - GBPF集可以形成广义卷积矩阵（GCVM），成功解决线性反馈系统识别问题，并且其表示误差小于传统BPF，这在理论和相关计算中都得到了证实。

2.1 GBPF集转换为LPWM - GBPF集

用GBPF集逼近函数f(t)并不简单，选择不同块脉冲的宽度hi也很困难，因为这需要事先了解f(t)的变化性质，以便相应地选择组成BPF的宽度。

为简化问题，提出了一种新的BPF集，其成员的宽度呈单调线性增加或减少，增减幅度δ为常数。例如，对于单调增加的m集LPWM - GBPF，如果第一个成员的宽