13、地球物理学中分布式参数识别：石油储层与含水层

地球物理学中分布式参数识别：石油储层与含水层

1. 引言

在石油储层和地下含水层建模中，经典的识别问题是基于在一组离散空间位置 $(x_i, y_i)$（$i = 1, 2, …, m$）处对 $u(x, y, t)$ 的含噪测量值 $u_{obs}(x_i, y_i, t)$，来估计抛物型偏微分方程中的参数 $a(x, y)$：
[
\frac{\partial}{\partial x}\left[a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}\right] + \frac{\partial}{\partial y}\left[a(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}\right] + q(x,y,t) = \frac{\partial u}{\partial t}
]
在这类应用中，因变量 $u$ 表示压力，$q$ 表示该区域内流体的抽取或注入，$a$ 是导水率，它决定了流体在储层中流动的难易程度。该方程的初始条件为 $u(x, y, 0) = u_0(x, y)$，典型的边界条件是区域边界上无流体流动，即 $\frac{\partial u}{\partial \omega} = 0$，其中 $\omega$ 表示边界的法线方向。

若已知 $a(x, y)$，则存在一个算子 $A$，使得方程的解可以表示为 $u = Aa$。并且，解是唯一的（即 $A$ 是唯一的），且解对于 $a$ 的微小变化是稳定的（即 $A$ 是连续的）。而识别问题则是上述问题的逆问题，即已知 $u$ 的数据，确定 $a$。因此，这类识别问题通常被称为逆问题。

2. 逆问题的不适定性

考虑稳态、齐次