376. Wiggle Subsequence

线性解法：

定义up[i]表示从0到i组成最长的wiggle序列，并且序列的最后两个元素a,b的差是正的，即a<b;

同理down[i]表示从0到i组成的最长wiggle序列，并且序列最后的两个元素a和b的差是负的，即a>b;

状态转移方程：

up[i] =   down[i-1]+1 (nums[i]>nums[i-1])

             up[i-1] (nums[i] <= nums[i-1])

 

down[i] = up[i-1]+1 (nums[i]<nums[i-1])

               down[i-1] (nums[i] >= nums[i-1])

分析如下：

当nums[i]>nums[i-1]:

    Sdown[i-1]表示0到i-1组成的最长wiggle序列，最后一组差值为负，设最后一个元素为N

    如果Sdown[i-1]包含nums[i-1], 那么自然up[i] = down[i-1]+1;

    如果Sdown[i-1]不包含nums[i-1]:

          1. N<nums[i-1], 由nums[i-1]<nums[i],得N<nums[i],也是成立的；

          2. 如果N>nums[i-1]，那么用nums[i-1]替换N，得到新的Sdown[i-1]序列，依然是最后一个递减的，长度也是最长的，也是成立的；

对于nums[i]==nums[i-1]，得到的结果和nums[i-1]得到的结果是一样的；

对于nums[i] < nums[i-1]：

     假设存在Sdown[i-1]的序列可以加上nums[i]得到更长的序列，设Sdown[i-1]最后一个元素是N，则N<nums[i];

     因为nums[i]<nums[i-1], 所以N<nums[i-1],这意味着，如果存在使用nums[i-1]得到更长的序列，这个序列在计算up[i-1]的时候已经更新到了，所以up[i] = up[i-1];

 down[i]原理以此类似，这里不展开了。

时间负载度O(n),注意到这里计算up[i]和down[i],只需要用到up[i-1]和down[i-1],所以空间复杂度可以优化到O(1)。

代码如下：

class Solution {
public:
    int wiggleMaxLength(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if(n==0) return 0;
        int up = 1, down = 1;
        for(int i = 1; i<nums.size(); i++){
            if(nums[i]>nums[i-1]){
                up = down+1;
            } else if(nums[i]<nums[i-1]){
                down = up+1;
            }
        }
        return max(up, down);
    }
};