牛顿迭代法(Newton's Method)

高次方程没有通解，可以依靠牛顿迭代法来求解。
五次及以上多项式方程没有根式解（就是没有像二次方程那样的万能公式），这个是被伽罗瓦用群论做出的最著名的结论。
但是，没有王屠夫难道非得吃带毛猪？工作生活中还是有诸多求解高次方程的真实需求（比如行星的轨道计算，往往就是涉及到很复杂的高次方程），这日子可怎么过下去啊？
没有根式解不意味着方程解不出来，数学家也提供了很多方法，牛顿迭代法就是其中一种。
https://www.matongxue.com/madocs/205.html

牛顿迭代法在acm中的应用：
1.求解方程的根
枚举初始迭代点求f'(x) = 0 的根
HDU2899

2.开根号
牛顿迭代法相比于二分法，迭代次数更少。
而且在雷神之锤3的源码中还有一个更强大的求1/sqrt(a)的方法，比c++ 标准库快好几倍
其源码如下所示：

float Q_rsqrt( float number )
{
    long i;
    float x2, y;
    const float threehalfs = 1.5F;

    x2 = number * 0.5F;
    y   = number;
    i   = * ( long * ) &y;   // evil floating point bit level hacking
    i   = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
    y   = * ( float * ) &i;
    y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
    // y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed

    #ifndef Q3_VM
    #ifdef __linux__
         assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
    #endif
    #endif
    return y;
}

关于注释为"what the fuck?"的一行，这里有一篇论文：http://www.matrix67.com/data/InvSqrt.pdf
之所以会出现这种奇怪的注释，要么是此段程序的作者（可能是马克尔）根本不知道该如何解释清楚，或者是维护这段程序的程序员完全看不懂这句话，所以有点儿抓毛。而实际上，它的作用（再加上y
= y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) )这句牛顿迭代）就是求平方根。

求解1/sqrt(a) = x     (脑补对任意根号下的解）
1/(x^2) - a = 0
令f(x) = 1/(x^2) - a
f'(x) = -2/(x^3)
xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn) = x*(1.5 -0.5a*x^2)
参考雷声之锤(一款游戏)源码，我们得到一个速度更优的求sqrt(a)的方法
 

double Sqrt(float x){
    double xhalf = 0.5*(double)x;
    int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE
    i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
    x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float
    x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
    x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
    x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
    return 1.0/(double)x;
}

 https://blog.youkuaiyun.com/wubaizhe/article/details/75574798
https://www.cnblogs.com/widsom/p/8857108.html
https://www.2cto.com/kf/201206/137256.html

迭代法求平方根的通式：

最后根据值得精度，跳出迭代得到根