计数dp

最新推荐文章于 2025-05-28 11:55:23 发布

小天位

最新推荐文章于 2025-05-28 11:55:23 发布

阅读量337

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏： dpj

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sxy201658506207/article/details/79704162

dpj 专栏收录该内容

2 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种解决正整数划分问题的算法，通过递推公式实现动态规划，求解一个正整数如何分解成不多于指定数量的正整数之和的方法数目。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

蒜头君特别喜欢数学。今天，蒜头君突发奇想：如果想要把一个正整数 $n$ 分解成不多于 $k$ 个正整数相加的形式，那么一共有多少种分解的方式呢？

蒜头君觉得这个问题实在是太难了，于是他想让你帮帮忙。

输入格式

共一行，包含两个整数 $\leq n \leq 300)$ 和 $\leq k \leq 300)$ ，含义如题意所示。

输出格式

一个数字，代表所求的方案数。

样例输入

5 3

样例输出

《挑战程序设计p66》+

我们采用一种标准将问题化为子问题，这个标准需要用到一种新的定义。我们定义n的m划分具体为一个集合{ai}，{ai}满足∑mi=1 ai = n 。可以看出{ai}里一共有m个数，这m个数不一定大于0。

这个标准是：是否存在某个ai=0；这样可以将{ai}分为两种情况：

1、不存在某个ai=0

此时{ai}的个数等于{ai – 1}的个数，即 n – m 的 m 划分。理解起来并不难，集合里每个数都减去1，一共减了m个。

此时dp[i][j] = dp[i][j – i] 。

2、存在某个ai=0

此时{ai}的个数等于 n 的 m – 1 划分。可以这样思考，存在ai=0，说明划分一定不足m组，那么至少可以少分一组同时满足划分数相同。

此时dp[i][j] = dp[i – 1][j] 。

那么{ai}总的划分数就是这两种情况的综合，dp[i][j] = dp[i][j – i] + dp[i – 1][j]。

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	long long dp[305][305];
	dp[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=300;++i)
	for(int j=0;j<=300;++j)//j的i划分 
		if(j>=i)
		dp[i][j] =dp[i][j-i]+dp[i-1][j];
		else
		dp[i][j]=dp[i-1][j];
		
		cout<<dp[m][n]<<endl;
}