Codeforces 148D Bag of mice（概率DP入门）

最新推荐文章于 2021-02-27 13:53:24 发布

swust_Three

最新推荐文章于 2021-02-27 13:53:24 发布

阅读量627

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：梁晨文章标签： dp 概率

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/swust_Three/article/details/68941926

梁晨专栏收录该内容

21 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一个关于公主与龙游戏的概率问题，通过递归动态规划的方法求解公主获胜的概率。详细阐述了状态转移方程及边界条件，并提供了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目很简单：公主和龙在玩游戏，一个袋子里有 w 只白老鼠和 b 只黑老鼠，公主先从袋子中取一只老鼠，然后龙再取，然后会有一只老鼠等概率的跳出来，然后再由公主取，谁先取到白老鼠谁就获胜，取老鼠也是等概率的，如果取到最后都没有人取到白老鼠，则龙赢，求公主赢的概率。PS：公主先取。
概率正在求，期望倒着求。
那么就正在推下：
设dp[i][j],是公主在面对这个袋子里有 i 只白老鼠，j 只黑老鼠的情况下获胜的概率，那么dp[w][b] 就是答案了；
假设在现在公主直接取了一只白老鼠，公主就获胜了，那么 dp[i][j] =i/(i+j).
如果现在公主取的是黑老鼠，那么可以有前面已经解决的子问题求得，可以分为两种情况：
1.公主取黑老鼠，龙取黑老鼠，跳出的也是黑老鼠，问题就转移到了dp[i][j-3]，那么转移的概率就成了：
dp[i][j]+=j/(i+j)(j-1)/(i+j-1)(j-2)/(i+j-2)*dp[i][j-3]; j>=3;
2.公主取黑老鼠，龙取黑老鼠，跳出的是白老鼠，那么问题就转移到了dp[i-1][j-2],那么
dp[i][j]+=j/(i+j)*(j-1)/(i+j-1)*i/(i+j-2)*dp[i-1][j-2] j>=2;

转移就已经想完了，再来考虑边界:
1.当袋子里面只有白老鼠，那么无论公主怎么取，获胜的概率就是 1。
2.当袋子里面只有黑老鼠，或者没有老鼠，公主获胜的概率都为 0。

#include<algorithm>
#include<string>
#include<string.h>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#include<math.h>
#include<map>
#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
#define maxn 1050
double dp[maxn][maxn];
int b,w;
int main()
{
    scanf("%d%d",&w,&b);
    for(int i=1;i<=w;i++)
        dp[i][0]=1.0;
    for(int i=1;i<=w;i++)
    {
        for(int j=1;j<=b;j++)
        {
            dp[i][j]=(double)i/(double)(i+j);
            if(j>=3)
                dp[i][j]+=(double)j*(double)(j-1)*(double)(j-2)*dp[i][j-3]/((double)(i+j)*(double)(i+j-1)*(double)(i+j-2));
            if(i>=1&&j>=2)
                dp[i][j]+=(double)j*(double)(j-1)*(double)i*dp[i-1][j-2]/((double)(i+j)*(double)(i+j-1)*(double)(i+j-2));
        }
    }
    printf("%.9f\n",dp[w][b]);
    return 0;
}