Classical algorithm | RSA算法原理解析

此博文主要介绍RSA算法的数学基础，具体算法步骤由于篇幅问题会酌情简略

最近挺多人问我RSA算法的，但由于所需的数学知识有好几个而不能当场详细说明，因为在此写一篇博文：

RSA算法的原理理解，需要先从4个数学知识开始说明，：

一：欧拉定理

如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立：

也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说，a的φ(n)次方减去1，可以被n整除。比如，3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。

欧拉定理可以大大简化某些运算。比如，7和10互质，根据欧拉定理，如下图：

已知 φ(10) 等于4，所以马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1。

因此，7的任意次方的个位数（例如7的222次方），心算就可以算出来。欧拉定理有一个特殊情况。假设正整数a与质数p互质，因为质数p的φ(p)等于p-1，则欧拉定理可以写成，如下图：（这就是著名的费马小定理）

二：模反元素

如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。这时，b就叫做a的“模反元素”。

例子：

3和11互质，那么3的模反元素就是4，因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然，模反元素不止一个， 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {…,-18,-7,4,15,26,…}，即如果b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素。

欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。可以看到，a的 φ(n)-1 次方，就是a的模反元素。

三：互质关系

如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。比如，15和32没有公因子，所以它们是互质关系。

关于互质关系，可以得到以下结论：

1. 任意两个质数构成互质关系，比如13和61。

2. 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。

3. 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。

4. 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。

5. p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。

6. p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。

四：欧拉函数

任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）。计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。

φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。

第一种情况：
如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。

第二种情况：
如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

第三种情况：
如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则

例子： φ(8) = φ(2^3) =2^3 – 2^2 = 8 -4 = 4。

这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、…、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还可以写成下面的形式：可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。

第四种情况：
如果n可以分解成两个互质的整数之积，
　　n = p1 × p2
则
　　φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。例如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。如果a与p1互质(a<p1)，b与p2互质(b<p2)，c与p1p2互质(c<p1p2)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。

第五种情况：

因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。

根据第4条的结论，得到

根据第3条的结论，得到

也就可以得出下图，欧拉函数的通用计算公式。

例子：1323的欧拉函数，计算过程如下：

上述数学知识知会后，RSA算法也就剩下加密解密方法而已（由于篇幅问题具体步骤与例子简略）。

以下为RSA算法的基本步骤：

第一步：随机选择两个不相等的质数p和q。

第二步：计算p和q的乘积n。

第三步：计算n的欧拉函数φ(n)。公式：φ(n) = (p-1)(q-1)

第四步：随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质。（实际应用中，常常选择65537。）

第五步：计算e对于φ(n)的模反元素d。公式：ed ≡ 1 (mod φ(n))，等价：ed – 1 = kφ(n)

结果：得到公匙（n，e），私匙（n，d）

以下为RSA算法加密解密方式：

加密：加密要用公钥 (n,e)，公式：m^e ≡ c (mod n)
解密：解密要用私钥 (n,d)，公式：c^d ≡ m (mod n)