由开锁智力题得出一种求平方数的方法

题目： 在一条长长的走廊上依次排列着100把锁着的锁头。你从把这100把锁全部打开开始（第1遍）。然后，你把所有序号是2的倍数的锁头再锁上（第2遍）。接下来，你依次走到所有序号是3的倍数的锁头前，如果它是打开的，就把它锁上；如果它是锁上的，就把它打开——我们把这称为“切换锁头的状态”（第3遍）。你继续像这样在第N遍去切换所有序号是N的倍数的锁头的状态。当进行到第100遍时，你将只切换第100把锁头的状态。

问题： 什么样的门会在100次之后打开？

一个门X想要打开，只有当X的约数个数为奇数。

问题： 什么样的X的约数为奇数个？

当X是完全平方数时，它的约数个数是奇数个。一个数的约数都是成对出现的，只有完全平方数有一对约数是相同的数字。

例如X = 36, 约数是(1, 36), (2, 18), (3, 12),(4, 9), (6, 6). 约数只有奇数个。

问题： 那么100以内到底有几个平方数？

10个完全平方数。 （1， 4， 9， 16， 25， 36， 49， 64， 81， 100）