《算法笔记》10.5小节——图算法专题-＞最小生成树

10.5.1 最小生成树及其性质

最小生成树是无向图中的一棵树，涵盖图G的所有顶点，并且边之和最小
最小生成树的三个性质：
1、是树，边数=顶点数-1
2、对于给定的图，最小生成树可以不唯一，但是边权值和是唯一的
3、最小生成树的根节点可以是任何一个节点，但是题目为了方便输出，一般会用题目给的节点作为根节点
P算法和K算法都是采用贪心法求最小生成树，只是贪心的策略不一样

10.5.2 prim算法

P算法与求最短路径的D算法思想几乎完全相同
区别是P算法中d[i]指的是点i距离集合S的距离
D算法中d[i]指的是点i距离起点S的距离
复杂度是O（V²），可以进行堆优化
尽量在图的顶点数目较少，而边数较多的时候使用prim算法

10.5.3 kruskal算法

采用边贪心的策略
时间复杂度主要来自对边的排序，为O（ElogE）,所以适合顶点较多，边较少的情况

习题

注意P算法适用于边较多的情况，K算法适用于顶点较多的情况
问题 A: 还是畅通工程
问题描述： 某省调查乡村交通状况，得到的统计表中列出了任意两村庄间的距离。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接的公路相连，只要能间接通过公路可达即可），并要求铺设的公路总长度为最小。请计算最小的公路总长度。

• 输入

测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出村庄数目N ( < 100 )；随后的N(N-1)/2行对应村庄间的距离，每行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以及此两村庄间的距离。为简单起见，村庄从1到N编号。
当N为0时，输入结束，该用例不被处理。```
 - 输出
 ```cpp
对每个测试用例，在1行里输出最小的公路总长度。

• 样例输入

8
1 2 42
1 3 68
1 4 35
1 5 1
1 6 70
1 7 25
1 8 79
2 3 59
2 4 63
2 5 65
2 6 6
2 7 46
2 8 82
3 4 28
3 5 62
3 6 92
3 7 96
3 8 43
4 5 28
4 6 37
4 7 92
4 8 5
5 6 3
5 7 54
5 8 93
6 7 83
6 8 22
7 8 17
0

• 样例输出

82

这题使用P算法：
因为是多点测试，注意要初始化所有的变量

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxv = 110;//表示最多100个村庄
const int INF = 1000000000;//无穷大
int n, m, G[maxv][maxv];
int d[maxv];
int vis[maxv];
int prim()
{
   
   
	fill(d, d + maxv, INF);
	fill(vis, vis + maxv, 0);
	d[1] = 0;
	int ans = 0;
	//首先找到距离集合S最小的点u以及距离d[u]
	for (int i = 1; i <=n; i++)
	{
   
   
		int u = -1,MIN = INF;
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{
   
   
			if (vis[j] == 0 && d[j] < MIN)
			{
   
   
				u = j;
				MIN = d[j];
			}
				
		}
		if (u == -1) return -1;
		vis[u] = 1;
		ans += d[u];
		for (int v = 1; v <= n; v++)
		{
   
   
			if (vis[v] == 0 && G[u][v] != INF && G[u][v] < d[v])
				d[v] = G[u][v];
		}
	}
	return ans;

}
int main()
{
   
   
	int u, v, w;
	while (scanf("%d", &n) != EOF)
	{
   
   
		if (n == 0)
			break;
		else
		{
   
   
			fill(G[0], G[0] + maxv * maxv, INF);
			int temp = n * (n - 1) / 2;
			for (int i = 1; i <= temp; i++)
			{
   
   
				scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
				G[u][v] = G[v][u] = w;
			}
			int ans = prim();
			printf("%d ", ans);
		}
		
	}
	
	return 0;
}

问题B：雀斑
问题描述：在迪克·范戴克 (Dick Van Dyke) 节目的一集中，小里奇 (Richie) 将父亲背上的雀斑连接起来，形成了自由钟的照片。唉，其中一个雀斑原来是疤痕，所以他的里普利的订婚失败了。
将 Dick 的背部视为在不同 (x,y) 位置有雀斑的平面。你的工作是告诉 Richie 如何连接点，以尽量减少使用的墨水量。里奇通过在对之间画直线来连接点，可能会在线之间提起笔。当 Richie 完成后，必须有一系列从任何雀斑到任何其他雀斑的连接线。

• 输入

第一行包含 0 < n <= 100，即 Dick 背上雀斑的数量。对于每个雀斑，后面跟着一条线；以下每一行包含两个实数，表示雀斑的 (x,y) 坐标。

• 输出

您的程序将一个实数打印到两个小数位：可以连接所有雀斑的墨水线的最小总长度。

• 样例输入

3
2723.62 7940.81
8242.67 11395.00
4935.54 6761.32
9
10519.52 11593.66
12102.35 2453.15
7235.61 10010.83
211.13 4283.23
5135.06 1287.85
2337.48 2075.61
6279.72 13928.13
65.79 1677.86
5324.26 125.56
0

• 样例输出

8199.56
32713.73

这题同样是稠密图，所以使用P算法：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS