RSA算法应用及证明

最近在搞hadoop，因为它用到了ssh，上网查了查，顺便把ssh所用到的RSA算法看了看，觉得很不错，写下来梳理一下，也算作备忘。

RSA定理

若P和Q是两个相异质数(即都为质数且最大公约数为1)，另有正整数e和d，其中d的值与( P - 1 )( Q - 1 )的值互质(即最大公约数为1)，并使得( ed ) mod ( P - 1 )( Q - 1 ) = 1。有正整数A，且A < PQ，设C = A^e mod PQ，B = C^d mod PQ则有：A = B。

应用：公钥-私钥机制

公钥为一个整数对(N, e)；私钥也是整数对(N, d)。

例：P=101，Q=113,则N=11413，e=3533,d=6597。

满足RSA定理的各个关系：gcd[d, (P-1)*(Q-1)] = gcd(6597, 100*112) = gcd(6597, 11200) = 1;

(ed)mod[(P-1)(Q-1)] = (3533*6597)mod(100*112) = 23307201 mod 11200 = 1;

那么，我们就有了公钥(11413, 3533),和私钥(11413, 6597)。

可以由RSA定理得知：对于任何小于11413的正整数a，都有：(a^3533)mod 11413 = c, (c^6597)mod 11413 = a。

比如：a=9726时，(9726^3533)mod 11413 = 5761 = c；(5791^6597)mod 11413 = 9726 = a。

这样的话，规定邮件接收者拥有公钥(11413, 3533)和私钥(11413, 6597)，公钥可以公开给任何人，而私钥由此人保管，不泄漏给任何人。

当发送者要向接收者发送一封邮件，内容是9726时，他向接收者申请，让接收者把他的公钥(11413, 3533)发给发送者，发送者做了运算(9726^3533)mod 11413 = 5761，将内容9726加密成为5761，发送给接收者。

因为只有私钥可以解密这一邮件，而且无法从公钥推导出私钥的内容，所以即使其他人知道公钥是(11413, 3533)，电文是5761，仍然无法知道内容是什么。

在接收者收到5761后，做运算(5791^6597)mod 11413 = 9726，即还原出原文内容，达到保密的目的。

下面是RSA定理的证明，出自http://blog.youkuaiyun.com/fireseed/archive/2005/03/23/327444.aspx，作者很强大，这里谢谢了。

RSA定理

若P和Q是两个相异质数，另有正整数R和M，其中M的值与( P - 1 )( Q - 1 )的值互质，并使得( RM ) mod ( P - 1 )( Q - 1 ) = 1。有正整数A，且A < PQ，设C = AR mod PQ，B = CM mod PQ则有：A = B

证明：

将C = A^R mod PQ代入B = C^M mod PQ得：

B = ( ( A^R mod PQ )^M ) mod PQ

根据积模分解公式，可变形为：

B = ( A^R )^M mod PQ

B = A^RM mod PQ                      （1）

因为有( RM ) mod ( P - 1 )( Q - 1 ) = 1，所以有：

RM = K ( P - 1 )( Q - 1 ) + 1，K为正整数。

代入（1）得：

B = A^{K ( P - 1 )( Q - 1 ) + 1} mod PQ                 （2）

如果A^RM < PQ时，明显有B = A。

如果A^RM > PQ，且A不是P的倍数也不是Q的倍数时，（2）可变形为：

B = ( AA^{K ( P - 1 )( Q - 1 )} ) mod PQ

根据积模分解公式可变形为：

B = ( ( A mod PQ )( A^{K ( P - 1 )( Q - 1 )} mod PQ ) ) mod PQ                   （3）

根据定理三的逆定理：

A^{K ( P - 1 )( Q - 1 )} mod PQ = ( A^{K ( P - 1 )} ) ^{( Q - 1 )} mod Q

根据费马小定理可得：

( A^{K ( P - 1 )} ) ^{( Q - 1 )} mod Q = 1，则

A^{K ( P - 1 )( Q - 1 )} mod PQ = 1

故( 3 )可转化为：

B = ( A mod PQ ) mod PQ

因为A < PQ，所以B = A成立。

在述证明过程中可以总结一点：

当P为素数且A和P互质时，那么当N为任意自然数时都有A^{N( P - 1 )} mod P = 1成立，这个定理下面还要用到，我们称之为定理四。 

如果A^RM > PQ，且A不是P的倍数而是Q的倍数时，A可表示为A = NQ，N为一小于A的整数。

那么（2）式可变形为：

B = ( NQ )^{K ( P - 1 )( Q - 1 ) + 1} mod PQ

B = ( N^{K ( P - 1 )( Q - 1 ) + 1} )( Q^{K ( P - 1 )( Q - 1 ) + 1} ) mod PQ

把Q作为公因子提出来，得：

B = ( ( NN^{K ( P - 1 )( Q - 1 )} ) ( Q^{K ( P - 1 )( Q - 1 )} mod P ) ) Q

用积模分解公式进行分解，得：

B = ( ( NN^{K ( P - 1 )( Q - 1 )} mod P )( Q^{K ( P - 1 )( Q - 1 )} mod P ) mod P ) Q

跟据定理四，N^{K ( P - 1 )( Q - 1 )}和Q^{K ( P - 1 )( Q - 1 )}的值都为1，所以有：

B = ( ( ( N mod P ) mod P ) mod P ) Q

B = NQ mod PQ mod PQ mod PQ

B = A mod PQ mod PQ mod PQ

因为A < PQ，所以B = A成立

同理，当A是P的倍数而不是Q的倍数时，B = A也成立。

 又因为A小于PQ，而P和Q又都是质数，所以A既是P的倍数又是Q的倍数的情况不存在。

 RSA定理成立。