约瑟夫问题（有时也称为约瑟夫斯置换，是一个计算机科学和数学中的问题。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。又称“丢手绢问题”。）
历史典故
据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决。Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。
引申出问题
通过上面的这个故事，我们可以用一个简单的问题来表述：
设编号为1，2，… n的n个人围坐一圈，约定编号为k（1<=k<=n）的人从1开始报数，数到m 的那个人出圈，它的下一位又从1开始报数，数到m的那个人又出圈，依次类推，直到所有人出圈为止，由此产生一个出圈编号的序列。
思路分析
用一个不带头结点的单向环形链表来处理约瑟夫问题：先构成一个有n个结点的单向环形链表，然后由k结点起从1开始计数，计到m时，对应结点从链表中删除，然后再从被删除结点的下一个结点又从1开始计数，直到最后一个结点从链表中删除算法结束。
下面我用示意图简单描述以下这个出圈过程：
最终出圈的结果是：2->4->1->5->3，整个过程还是比较简单、清晰的。
接下来，我将通过以下3个步骤，完整解析如何处理该问题：
- 构造单向环形链表
- 遍历环形链表
- 报数出圈
实现步骤
完整代码如下，大家可以搭配下面的详细解析步骤，慢慢理解。O(∩_∩)O哈哈~
/**
* 约瑟夫问题
*
* @author 一生都在战斗
* @date 2021-07-01 5:27 下午
*/
public class Josephus {
public static void main(String[] args) {
CircleSingleLinkedList list = new CircleSingleLinkedList();
list.add(41);
System.out.println("遍历圈中编号 =========================》");
list.show();
System.out.println("开始报数出圈 =========================》");
list.out(1, 3);
}
}
class CircleSingleLinkedList {
/**
* 构造辅助指针first
*/
private Node first = null;
/**
* 生成指定人数的环形队列
*
* @param num 环形队列人数
*/
public void add(int num) {
// 构造一个辅助指针cur，每次都指向最新的节点
Node cur = null;
for (int i = 1; i <= num; i++) {
// 生成新节点
Node node = new Node(i);
if (i == 1) {
// 当前节点是第一个节点
first = node; // 给first指针赋值
cur = node; // cur指针指向最新的节点
cur.next = first; // 新节点指向first节点
} else {
cur.next = node; // 将cur节点的next指向新节点，也就意味着新节点加入到了环形链表中
cur = node; // 将cur指针后移，指向最新加入的节点
cur.next = first; // 将新加入节点的next指向first节点，重新形成新的环
}
}
}
public void show() {
Node cur = first;
for (; ; ) {
System.out.println("当前编号：" + cur.no);
if (cur.next == first) {
break;
}
cur = cur.next;
}
}
/**
* 报数出圈
*
* @param startNo 开始报数的人员编号
* @param count 报数为count的人出圈
*/
public void out(int startNo, int count) {
// 构造辅助指针help
Node help = first;
for (; ; ) {
// 将help指针指向环形链表的最后一个节点
if (help.next == first) {
break;
}
help = help.next;
}
for (int i = 0; i < startNo - 1; i++) {
// 将first、help指针先移动到指定的"开始报数的人员编号"的节点处
first = first.next;
help = help.next;
}
for (; ; ) {
if (first == help) {
// 当first和help指向同一个节点时，说明此时环形链表只剩下最后一个节点了
System.out.println("圈中最后一个人编号：" + first.no);
break;
}
for (int i = 0; i < count - 1; i++) {
// 将first、help移动指定的"count-1"次
first = first.next;
help = help.next;
}
// 移动完成后，first指向的节点就是需要出圈的编号
System.out.println("出圈编号：" + first.no);
first = first.next;
help.next = first;
}
}
}
class Node {
int no;
Node next;
public Node(int no) {
this.no = no;
}
}
构造单向环形链表
- 首先我们需要一个辅助指针first
- 然后我们创建第一个节点，让first始终指向这第一个节点，并且形成环
- 然后我们还需要一个辅助指针cur，指向最新加入的节点
- 后面新增节点时，只需要把该节点加入环形链表（cur.next=新节点），再向后移动cur指针，并且让新节点指向first节点，再次形成一个环
流程示意图如下：
后面的节点加入时，以此类推。。。
下面来看代码：
- 创建节点类
class Node {
int no;
Node next;
public Node(int no) {
this.no = no;
}
}
- 创建环形链表类
class CircleSingleLinkedList {
/**
* 构造辅助指针first
*/
private Node first = null;
}
- 生成指定人数的环形队列
/**
* 生成指定人数的环形队列
*
* @param num 环形队列人数
*/
public void add(int num) {
// 构造一个辅助指针cur，每次都指向最新的节点
Node cur = null;
for (int i = 1; i <= num; i++) {
// 生成新节点
Node node = new Node(i);
if (i == 1) {
// 当前节点是第一个节点
first = node; // 给first指针赋值
cur = node; // cur指针指向最新的节点
cur.next = first; // 新节点指向first节点
} else {
cur.next = node; // 将cur节点的next指向新节点，也就意味着新节点加入到了环形链表中
cur = node; // 将cur指针后移，指向最新加入的节点
cur.next = first; // 将新加入节点的next指向first节点，重新形成新的环
}
}
}
遍历环形链表
遍历过程比较简单，同样需要一个辅助指针cur，cur初始指向同first一致，接着就可以循环遍历，每执行一次，cur指针后移一位，当cur.next=first时，说明遍历结束了。
public void show() {
Node cur = first;
for (; ; ) {
System.out.println("当前编号：" + cur.no);
if (cur.next == first) {
break;
}
cur = cur.next;
}
}
报数出圈
-
首先我们需要一个辅助指针help，指向环形链表的最后一个节点
-
根据题目中指定的从编号为k的人开始报数，我们需要将first、help指针同时移动k-1次。
-
开始报数，将first、help指针同时移动m-1次，这时first指针指向的节点就是需要出圈的节点，（这里移动m-1次的原因同上）
-
找到需要出圈的节点后，我们只需要变动first和help的指针指向即可：
first=first.next
help.next=first
原来first指向的节点就会因为没有任何引用，而被GC回收
/**
* 报数出圈
* @param startNo 开始报数的人员编号
* @param count 报数为count的人出圈
*/
public void out(int startNo, int count) {
// 构造辅助指针help
Node help = first;
for (; ; ) {
// 将help指针指向环形链表的最后一个节点
if (help.next == first) {
break;
}
help = help.next;
}
for (int i = 0; i < startNo - 1; i++) {
// 将first、help指针先移动到指定的"开始报数的人员编号"的节点处
first = first.next;
help = help.next;
}
for (; ; ) {
if (first == help) {
// 当first和help指向同一个节点时，说明此时环形链表只剩下最后一个节点了
System.out.println("圈中最后一个人编号：" + first.no);
break;
}
for (int i = 0; i < count - 1; i++) {
// 将first、help移动指定的"count-1"次
first = first.next;
help = help.next;
}
// 移动完成后，first指向的节点就是需要出圈的编号
System.out.println("出圈编号：" + first.no);
first = first.next;
help.next = first;
}
}
代码测试
- 首先我们来看上面5个人出圈的问题，main方法代码如下设置：
public static void main(String[] args) {
CircleSingleLinkedList list = new CircleSingleLinkedList();
list.add(5);
System.out.println("遍历圈中编号 =========================》");
list.show();
System.out.println("开始报数出圈 =========================》");
list.out(1, 2);
}
打印结果：
遍历圈中编号 =========================》
当前编号：1
当前编号：2
当前编号：3
当前编号：4
当前编号：5
开始报数出圈 =========================》
出圈编号：2
出圈编号：4
出圈编号：1
出圈编号：5
圈中最后一个人编号：3
结果符合预期。
- 我们再来看开篇的约瑟夫问题，设置相关参数，打印结果如下：
遍历圈中编号 =========================》
当前编号：1
当前编号：2
当前编号：3
当前编号：4
当前编号：5
当前编号：6
当前编号：7
当前编号：8
当前编号：9
当前编号：10
当前编号：11
当前编号：12
当前编号：13
当前编号：14
当前编号：15
当前编号：16
当前编号：17
当前编号：18
当前编号：19
当前编号：20
当前编号：21
当前编号：22
当前编号：23
当前编号：24
当前编号：25
当前编号：26
当前编号：27
当前编号：28
当前编号：29
当前编号：30
当前编号：31
当前编号：32
当前编号：33
当前编号：34
当前编号：35
当前编号：36
当前编号：37
当前编号：38
当前编号：39
当前编号：40
当前编号：41
开始报数出圈 =========================》
出圈编号：3
出圈编号：6
出圈编号：9
出圈编号：12
出圈编号：15
出圈编号：18
出圈编号：21
出圈编号：24
出圈编号：27
出圈编号：30
出圈编号：33
出圈编号：36
出圈编号：39
出圈编号：1
出圈编号：5
出圈编号：10
出圈编号：14
出圈编号：19
出圈编号：23
出圈编号：28
出圈编号：32
出圈编号：37
出圈编号：41
出圈编号：7
出圈编号：13
出圈编号：20
出圈编号：26
出圈编号：34
出圈编号：40
出圈编号：8
出圈编号：17
出圈编号：29
出圈编号：38
出圈编号：11
出圈编号：25
出圈编号：2
出圈编号：22
出圈编号：4
出圈编号：35
出圈编号：16
圈中最后一个人编号：31
最后两个编号为16和31，跟历史典故的结果也一致。
完结撒花！！！
扫一扫
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
