UVa 12627 Erratic Expansion 分治法

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本文介绍了一种针对UVA-12627问题的高效算法，从初始的O(n*k)复杂度改进到了O(k)，通过巧妙地利用递归和数学性质，减少了不必要的计算步骤。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：https://cn.vjudge.net/problem/UVA-12627

一开始只能想到O(n*k)的算法，就是傻傻的一行一行的算，结果可想而知，TLE了。

看了紫书看到了O(k)的算法，觉得很值得借鉴，以后肯定有不少地方能用到，就记录一下。
具体思路就是我们只须统计前 i 行的红球数量即可，我们用 f(k, i) 表示k小时后，前 i 行的红球数量，这样一来我们的答案就是 f(k, B) - f(k,A-1) 。

现在就是求 f(k, i) 的递归式子了，我们分类讨论：
当 i >= 2^(k-1) 的时候，f(k, i) = f(k-1, i-2^(k-1)) + 2*c(k-1);
当 i < 2^(k-1) 的时候，f(k, i) = 2*f(k-1, i);
其中 c(k) 表示k小时后，红球的总数。通过观察易知 c(k) = 3^k;
递归终止条件就是，当 i == 0 时，直接返回 0；当 k == 0 时，直接返回 1 即可；

（注：紫书上的g(k, i)的递归式子有点小问题，可能是印刷错误）

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

LL c(int k){
    return k == 0 ? 1 : c(k-1)*3;
}

LL f(int k, int h){
    //这里必须先判断h是否为0，再判断k是否为0，其中的道理显而易见。
    if(h == 0) return 0;
    if(k == 0) return 1;

    LL p = (1<<(k-1));
    if(h >= p) return f(k-1, h-p) + 2*c(k-1);
    else return 2*f(k-1, h);
}

int main(){
    int T, ca = 1;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        int k, A, B;
        scanf("%d %d %d", &k, &A, &B);
        printf("Case %d: %lld\n", ca++, f(k, B)-f(k, A-1));
    }
    return 0;
}