UVa 12627 Erratic Expansion 分治法

本文介绍了一种针对UVA-12627问题的高效算法,从初始的O(n*k)复杂度改进到了O(k),通过巧妙地利用递归和数学性质,减少了不必要的计算步骤。

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题目链接:https://cn.vjudge.net/problem/UVA-12627

一开始只能想到O(n*k)的算法,就是傻傻的一行一行的算,结果可想而知,TLE了。

看了紫书看到了O(k)的算法,觉得很值得借鉴,以后肯定有不少地方能用到,就记录一下。
具体思路就是我们只须统计前 i 行的红球数量即可,我们用 f(k, i) 表示k小时后,前 i 行的红球数量,这样一来我们的答案就是 f(k, B) - f(k,A-1) 。

现在就是求 f(k, i) 的递归式子了,我们分类讨论:
当 i >= 2^(k-1) 的时候,f(k, i) = f(k-1, i-2^(k-1)) + 2*c(k-1);
当 i < 2^(k-1) 的时候,f(k, i) = 2*f(k-1, i);
其中 c(k) 表示k小时后,红球的总数。通过观察易知 c(k) = 3^k;
递归终止条件就是,当 i == 0 时,直接返回 0; 当 k == 0 时,直接返回 1 即可;

(注:紫书上的g(k, i)的递归式子有点小问题,可能是印刷错误)

代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

LL c(int k){
    return k == 0 ? 1 : c(k-1)*3;
}

LL f(int k, int h){
    //这里必须先判断h是否为0,再判断k是否为0,其中的道理显而易见。
    if(h == 0) return 0;
    if(k == 0) return 1;

    LL p = (1<<(k-1));
    if(h >= p) return f(k-1, h-p) + 2*c(k-1);
    else return 2*f(k-1, h);
}

int main(){
    int T, ca = 1;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        int k, A, B;
        scanf("%d %d %d", &k, &A, &B);
        printf("Case %d: %lld\n", ca++, f(k, B)-f(k, A-1));
    }
    return 0;
}
这这是这是一这是一行这是一行Python这是一行Python代码这是一行Python代码,这是一行Python代码,它这是一行Python代码,它会这是一行Python代码,它会生成这是一行Python代码,它会生成一个这是一行Python代码,它会生成一个包这是一行Python代码,它会生成一个包含这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每个这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每个元这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每个元素这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每个元素freeze这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每个元素freeze中这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每个元素freeze中的这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每个元素freeze中的字符串这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每个元素freeze中的字符串,并这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每个元素freeze中的字符串,并在这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每个元素freeze中的字符串,并在每这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每个元素freeze中的字符串,并在每个这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每个元素freeze中的字符串,并在每个值这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每个元素freeze中的字符串,并在每个值之这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每个元素freeze中的字符串,并在每个值之间这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每个元素freeze中的字符串,并在每个值之间添加这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每个元素freeze中的字符串,并在每个值之间添加一个这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每个元素freeze中的字符串,并在每个值之间添加一个句这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每个元素freeze中的字符串,并在每个值之间添加一个句点这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表示,其中x是在输入freeze中给定的值。如果freeze的长度大于1,则这个列表将包含每个元素freeze中的字符串,并在每个值之间添加一个句点(这是一行Python代码,它会生成一个包含字符串的列表,每个字符串都以"model.x."的形式表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