算法导论 第9章 中位数和顺序统计量

算法导论 第9章 中位数和顺序统计量

在一个由n个元素组成的集合中，第i个 顺序统计量 是指该集合中第i小的元素，如最小值是第1个顺序统计量。中位数 是它所属集合的中点元素，本书中都指下中位数，即i=(n+1)/2向下取整。

本章讨论 选择问题，即输出集合中第i小的元素。

最小值和最大值

若要确定一个n元素集合中的最小元素或最大元素，显然需要n-1次比较，即Θ(n)。

若要同时找到最小值和最大值，可以首先记录已知的最小值和最大值，然后对输入元素成对的相互比较，把较小的与当前最小值比较，较大的与当前最大值比较，这样总的比较次数至多是3 * (n / 2向下取整)。

期望为线性时间的选择算法

该算法以第7章快速排序算法为模型，但只处理划分的一边。首先讲集合划分为A[p…q-1]和A[q+1…r]，使得A[p…q-1]中元素都小于或等于A[q]，A[q+1…r]中元素都大于或等于A[q]，然后计算A[p…q]的元素个数k，确定第i小的元素在哪一个集合中，并递归调用该方法直到取得第i小的元素：

其中：

可以证明，假设所有元素是互异的，在期望现性时间内，可以找到任一顺序统计量。

最坏情况为线性时间的选择算法

1. 将输入的n个元素的数组划分n/5向下取整个组每组5个元素，和1组n mod 5个元素
2. 对每一组进行插入排序，确定每组的中位数
3. 对找到了n/5向上取整个中位数，递归调用该方法以找到中位数x
4. 利用修改过的PARTITION（把划分的主元也作为输入参数）按中位数的中位数x进行划分，让k比划分的低区的元素多1，因此x是第k小的元素
5. 若i=k则返回x，若i < k则在低区递归调用该方法，若i > k则在高区递归调用该方法查找第i-k小的元素

第1、2、4步需要O(n)时间，步骤3需要T(n/5向上取整)，步骤5需要至多T(7n/10+6)。
可以证明整个算法在最坏情况下的运行时间是线性的。