numpy教程：numpy中矩阵乘法讲解并举例

在 Numpy 中，矩阵乘法（Matrix Multiplication）与普通的逐元素乘法不同，它遵循线性代数中的矩阵乘法规则，即 两个矩阵的相乘是行列之间的内积。Numpy 提供了多种方式来进行矩阵乘法，最常用的有：

• dot() 或 np.dot()：适用于一维、二维和更高维的矩阵乘法。
• @ 操作符：从 Python 3.5 起支持，直接用于矩阵乘法。
• matmul()：专门用于矩阵乘法。

矩阵乘法规则：

假设我们有两个矩阵 ( A ) 和 ( B )，如果 ( A ) 是 ( m \times n ) 矩阵，( B ) 是 ( n \times p ) 矩阵，那么它们的乘积矩阵 ( C ) 的形状是 ( m \times p )，其中每个元素 ( C_{ij} ) 是 ( A ) 的第 ( i ) 行和 ( B ) 的第 ( j ) 列的内积。

1. 使用 dot() 进行矩阵乘法

import numpy as np

# 定义两个矩阵
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# 矩阵乘法
C = np.dot(A, B)
print(C)

输出:

[[19 22]
 [43 50]]

解释：

• ( C[0, 0] = 15 + 27 = 19 )
• ( C[0, 1] = 16 + 28 = 22 )
• ( C[1, 0] = 35 + 47 = 43 )
• ( C[1, 1] = 36 + 48 = 50 )

2. 使用 @ 操作符进行矩阵乘法

从 Python 3.5 起，可以直接使用 @ 操作符进行矩阵乘法。

C = A @ B
print(C)

输出：

[[19 22]
 [43 50]]

与 dot() 的输出相同。@ 是一种更简洁的矩阵乘法表示法，尤其是在链式矩阵乘法时。

3. 使用 matmul() 进行矩阵乘法

matmul() 函数专门用于矩阵乘法，与 dot() 不同，它只处理矩阵乘法，而 dot() 可以处理任意维度数组。

C = np.matmul(A, B)
print(C)

输出：

[[19 22]
 [43 50]]

4. 多维矩阵乘法

Numpy 支持高维矩阵的乘法运算。对于高维矩阵，矩阵乘法的计算规则扩展到沿着最后的轴进行。

A = np.random.randint(1, 10, (2, 3, 4))
B = np.random.randint(1, 10, (2, 4, 5))

# 三维矩阵乘法，输出形状为 (2, 3, 5)
C = np.matmul(A, B)
print(C.shape)
print(C)

输出示例：

(2, 3, 5)
[[[109 110  64  97  69]
  [115 124  74 107  83]
  [119 142  77 113 101]]

 [[113  95  72 101  78]
  [135 135 106 130 117]
  [122 106  82 105  94]]]

5. 矩阵与向量的乘法

矩阵乘法不仅适用于矩阵与矩阵，也适用于矩阵与向量之间的乘法。

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
v = np.array([7, 8, 9])

# 矩阵与向量相乘
C = np.dot(A, v)
print(C)

输出：

[ 50 122]

解释：

• ( C[0] = 17 + 28 + 3*9 = 50 )
• ( C[1] = 47 + 58 + 6*9 = 122 )

6. 逐元素乘法 vs 矩阵乘法

逐元素乘法是指矩阵中的对应元素逐一相乘，而不是矩阵乘法中的内积。

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# 逐元素乘法（使用 * 操作符）
elementwise_mul = A * B
print(elementwise_mul)

输出：

[[ 5 12]
 [21 32]]

在逐元素乘法中，每个位置的值是两个矩阵中相应位置元素的乘积：

• ( A[0,0] \times B[0,0] = 1 \times 5 = 5 )
• ( A[0,1] \times B[0,1] = 2 \times 6 = 12 )
• ( A[1,0] \times B[1,0] = 3 \times 7 = 21 )
• ( A[1,1] \times B[1,1] = 4 \times 8 = 32 )

总结：

• 矩阵乘法：使用 dot()、matmul() 或 @，遵循线性代数的矩阵内积规则。
• 逐元素乘法：使用 *，对应位置元素逐一相乘。
• 广播机制：Numpy 广播机制允许不同维度的数组进行矩阵乘法。