《剑指offer》的青蛙跳级算法

青蛙跳级是剑指Offer中的题目,值得一看,特别是初学者

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级台阶总共有多少种跳法?

对于这种题,我们要先从数学的角度出发

若台阶只有一级,则只有一种跳法，
若台阶只有两级,则只有两种跳法,

当台阶有三级的时候,又分情况了,设n级的时候有f(n)种跳法，第一跳为1级,则还剩f(3-1)种跳法,第一跳为2级的时候,则还剩f(3-2)种跳法,
同理,第一跳为1级时,还剩f(n-1)种跳法,第一跳为2级时,还剩f(n-2)种跳法

所以得出结论,f(n) = f(n-1) + f(n-2), n>=3

这是一个斐波那契数列!则有如下解法

/**
 * 一只青蛙一次可以跳上一级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级台阶总共有多少种跳法
 *
 */
#include<iostream>
using namespace std;
long fib(int n);
long fib1(int n);
long fib2(int n);
long tail(int n, int num1, int num2, int begin);
int main() {
    cout<<fib(20)<<endl;
    cout << fib1(20) << endl;
    cout << fib2(20) << endl;
    return 0;
}

// 普通递归版本
long fib(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    else if (n == 2) {
        return 2;
    }
    else if (n >= 3) {
        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }
    else {
        return -1;
    }

}

// 迭代版本
long fib1(int n) {
    if (n>0 && n <= 2) {
        return n;
    }
    else if (n >= 3) {
        int num1 = 1, num2 = 2, sum;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            sum = num1 + num2;
            num1 = num2;
            num2 = sum;
        }
        return sum;
    }
}

// 尾递归版本
long fib2(int n) {
    if (n >= 0 && n <= 2) {
        return n;
    }
    else {
        return tail(n, 1, 2, 3);
    }
}
long tail(int n, int num1, int num2, int begin) {
    if (n == begin) {
        return num1 + num2;
    }
    else {
        return tail(n, num2, num1+num2, ++begin);
    }
}

我们来看第二个青蛙跳级的问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法?

同上,我们用数学的角度来看待这问题,

首先,一级台阶的时候只有一种跳法,
二级台阶的时候只有两种跳法,

当三级台阶的时候,f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)
当四级台阶的时候,f(4) = f(4-1) + f(4-2) + f(4-3) + f(4-4)
当n级台阶的时候, f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + …… + f(1) + f(n-n)
当n-1级台阶的时候,f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + …… + f(1)

所以,f(n) = f(n-1) + f(n-1) + f(0)， f(0) = 0
则f(n) = 2f(n-1)

/**
 *  一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级......它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法
 *
 */
#include<iostream>
long jump(int n);
int main() {
    std::cout << jump(40)<<std::endl;
    return 0;
}

long jump(int n) {
    if (n>=0 && n <= 2) {
        return n;
    }
    else if (n >= 3) {
        return 2 * jump(n - 1);
    }
    return -1;
}