【bzoj3611】【大工程】【虚树+dp】

最新推荐文章于 2025-05-31 17:48:36 发布

sunshinezff

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分类专栏：虚树

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sunshinezff/article/details/48968723

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本文探讨了一个国家如何在特殊地理位置的树形交通网络中，通过选择特定城市建立高效通道，以最小化成本和最大化效益。通过分析不同计划的实施效果，包括通道总代价、最小代价和最大代价，提出了利用虚树结构和动态规划方法来优化网络连接性的策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

国家有一个大工程，要给一个非常大的交通网络里建一些新的通道。

我们这个国家位置非常特殊，可以看成是一个单位边权的树，城市位于顶点上。

在 2 个国家 a,b 之间建一条新通道需要的代价为树上 a,b 的最短路径。

现在国家有很多个计划，每个计划都是这样，我们选中了 k 个点，然后在它们两两之间新建 C(k,2)条新通道。

现在对于每个计划，我们想知道：

1.这些新通道的代价和

2.这些新通道中代价最小的是多少

3.这些新通道中代价最大的是多少

Input

第一行 n 表示点数。

接下来 n-1 行，每行两个数 a,b 表示 a 和 b 之间有一条边。

点从 1 开始标号。接下来一行 q 表示计划数。

对每个计划有 2 行，第一行 k 表示这个计划选中了几个点。

第二行用空格隔开的 k 个互不相同的数表示选了哪 k 个点。

Output

输出 q 行，每行三个数分别表示代价和，最小代价，最大代价。

Sample Input

10
2 1
3 2
4 1
5 2
6 4
7 5
8 6
9 7
10 9
5
2
5 4
2
10 4
2
5 2
2
6 1
2
6 1

Sample Output

3 3 3
6 6 6
1 1 1
2 2 2
2 2 2

HINT

n<=1000000

q<=50000并且保证所有k之和<=2*n

题解：显然先搞出虚树。然后就是dp的问题了。

这个dp比较麻烦。

我们用g[x]表示在以x为根的子树中选定了多少个点。

用dis[x]表示在以x为根的子树中选定点到根的距离和。

用ma[x]表示在以x为根的子树中选定点到根的最大距离。

用mi[x]表示在以x为根的子树中选定点到根的最小距离。

用sum,mn,mx分别表示所求的总和，最小值，最大值。

那么

g[x]+=g[u](u是x的子节点);

dis[x]=dis[x]+dis[u]*b[i].v(u是x的子节点);

sum+=g[u]*(dis[x]+g[x]*b[i].v)+g[x]*dis[u](u是x的子节点);

ma[x]=max(ma[x],ma[u]+b[i].v)(u是x的子节点);

mi[x]=min(mi[x],mi[u]+b[i].v)(u是x的子节点);

mn=min(mn,mi[x]+mi[u]+b[i].v)(u是x的子节点);

mx=max(mx,ma[x]+ma[u]+b[i].v)(u是x的子节点);

然后就好了。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 1000010
#define INF 99999999
using namespace std;
struct use{int st,en,v;}e[N*2],b[N*2];
int point[N],next[N*2],x,y,cnt,n,q,k,f[N],h[N],d[N],deep[N],fa[N][25],t,s[N];
int point2[N*2],next2[N*2],cnt2,ma[N],mi[N],mx,mn,g[N],top,temp;
long long sum,dis[N];
bool cmp(int a,int b){return d[a]<d[b];}
void add(int x,int y){
    next[++cnt]=point[x];point[x]=cnt;
    e[cnt].st=x;e[cnt].en=y;
}
void add2(int x,int y){
    if (x==y) return;
    next2[++cnt2]=point2[x];point2[x]=cnt2;
    b[cnt2].st=x;b[cnt2].en=y;b[cnt2].v=deep[y]-deep[x];
}
void dfs(int x){
   d[x]=++t;
   for (int i=1;i<=20;i++){
     if ((1<<i)<=deep[x]) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];else break;
   }
   for (int i=point[x];i;i=next[i])
     if (e[i].en!=fa[x][0]){
        fa[e[i].en][0]=x;deep[e[i].en]=deep[x]+1;dfs(e[i].en);
     }
}
int lca(int x,int y){
  if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);int c=deep[x]-deep[y];
  for (int i=0;i<=20;i++) if (c&(1<<i)) x=fa[x][i];
  for (int i=20;i>=0;i--) if (fa[x][i]!=fa[y][i]) {x=fa[x][i],y=fa[y][i];}
  if (x!=y) return fa[x][0];else return x;
}
void dp(int x){
    g[x]=f[x];dis[x]=0;
    if (f[x]) ma[x]=mi[x]=0;else{ma[x]=-INF;mi[x]=INF;}
    for (int i=point2[x];i;i=next2[i]){
      int u=b[i].en;dp(u);
      sum+=g[u]*(dis[x]+g[x]*b[i].v)+g[x]*dis[u];
      dis[x]+=dis[u]+g[u]*b[i].v;g[x]+=g[u];
      mx=max(mx,ma[x]+ma[u]+b[i].v);mn=min(mn,mi[x]+mi[u]+b[i].v);
      ma[x]=max(ma[x],ma[u]+b[i].v);mi[x]=min(mi[x],mi[u]+b[i].v);  
    }point2[x]=0;
}
int main(){
  scanf("%d",&n);
  for (int i=1;i<n;i++){scanf("%d%d",&x,&y);add(x,y);add(y,x);}
  dfs(1);scanf("%d",&q);
  while (q--){
    scanf("%d",&k);top=0;cnt2=0;
    for (int i=1;i<=k;i++) {scanf("%d",&h[i]);f[h[i]]=1;}
    sort(h+1,h+k+1,cmp);s[++top]=1;
    for (int i=1;i<=k;i++){
      int u=h[i];int fx=lca(u,s[top]);
      if (fx==s[top]) {s[++top]=u;continue;}
      while (fx==lca(s[top-1],u)){add2(s[top-1],s[top]);top--;}
      add2(fx,s[top]);s[top]=fx;s[++top]=u;
    } 
    while(--top) add2(s[top],s[top+1]);
    mx=-1;mn=99999999;sum=0;dp(1);printf("%lld ",sum);
    printf("%d %d\n",mn,mx);for (int i=1;i<=k;i++) f[h[i]]=0;
   }
}