bzoj1911: [Apio2010]特别行动队 （斜率优化dp）

Solution

首先可以得到 $dp$ 方程 $f[i]=max(f[j]+a(sum[i]-sum[j]{)}^2+b(sum[i]-sum[j])+c)$

$$f[i]=f[j]+a\cdot sum[i{]}^2-2a\cdot sum[i]\cdot sum[j]+a\cdot sum[j{]}^2+b\cdot sum[i]-b\cdot sum[j]+c$$

$$f[j]+a\cdot sum[j{]}^2-b\cdot sum[j]+c=2a\cdot sum[i]\cdot sum[j]+f[i]+a\cdot sum[i{]}^2-b\cdot sum[i]$$

然后令点为 $(sum[j],f[j]+a\cdot sum[j{]}^2-b\cdot sum[j]+c)$

注：题目求的是最大值！要维护上凸包！

Code

#include <cstdio>
#define ll long long
#define db double
const int N=1000010;
int n,a,b,c,q[N];
db sum[N],f[N];
inline db X(int i){return sum[i];}
inline db Y(int i){return f[i]+a*sum[i]*sum[i]-b*sum[i]+c;}
inline db slope(int i,int j){return (Y(i)-Y(j))/(X(i)-X(j));}
int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&a,&b,&c);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%lf",&sum[i]); 
        sum[i]+=sum[i-1];
    }
    int h=1,t=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(h<t && slope(q[h],q[h+1])>2*a*sum[i]) h++;
        f[i]=f[q[h]]+a*sum[i]*sum[i]-2*a*sum[i]*sum[q[h]]+a*sum[q[h]]*sum[q[h]]+b*sum[i]-b*sum[q[h]]+c;
        while(h<t && slope(q[t],q[t-1])<slope(q[t-1],i)) t--;
        q[++t]=i;
    }
    printf("%.0lf\n",f[n]);
    return 0;
}