洛谷P4514 上帝造题的七分钟（二维树状数组）_二维树状数组洛谷-优快云博客

本文介绍了一种使用二维树状数组解决矩形区间和查询问题的方法。通过建立四个二维树状数组，可以高效地计算从点(x1,y1)到点(x2,y2)的矩形区域内的元素总和。文章详细解释了如何更新和查询这些树状数组，以实现快速求和。

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Solution

二维树状数组
求 $(x_1,y_1)$ 到 $(x_2,y_2)$ 的和 $sum=sum[x_2][y_2]-sum[x_1-1][y_2]-sum[x_2][y_1-1]+sum[x_1-1][y_1-1]$

$sum[x][y]=\sum\limits_{i=1}^{x}\sum\limits_{j=1}^{y}\sum\limits_{k=1}^{i}\sum\limits_{t=1}^{j}a[k][t]=\sum\limits_{i=1}^{x}\sum\limits_{j=1}^{x}a[i][j]*(x-i+1)*(y-j+1)$

s u m [x] [y] = \sum i = 1 x \sum j = 1 y \sum k = 1 i \sum t = 1 j a [k] [t] = \sum i = 1 x \sum j = 1 x a [i] [j] * (x - i + 1) * (y - j + 1) = \sum i = 1 x \sum j = 1 x a [i] [j] * (x y - x j - y i + + i j + x + y - i - j + 1) = \sum i = 1 x \sum j = 1 x a [i] [j] * (x y + x + y + 1) - a [i] [j] * i * (y + 1) - a [i] [j] * j * (x + 1) + a [i] [j] * i * j

$\begin{aligned} sum[x][y]&=\sum\limits_{i=1}^{x}\sum\limits_{j=1}^{y}\sum\limits_{k=1}^{i}\sum\limits_{t=1}^{j}a[k][t]\\ &=\sum\limits_{i=1}^{x}\sum\limits_{j=1}^{x}a[i][j]*(x-i+1)*(y-j+1)\\ &=\sum\limits_{i=1}^{x}\sum\limits_{j=1}^{x}a[i][j]*(xy-xj-yi++ij+x+y-i-j+1)\\ &=\sum\limits_{i=1}^{x}\sum\limits_{j=1}^{x}a[i][j]*(xy+x+y+1)-a[i][j]*i*(y+1)-a[i][j]*j*(x+1)+a[i][j]*i*j\\ \end{aligned}$
因此我们开四个二维树状数组就可以解决了

Code

#include <cstdio>
#define N 2050
int n,m,a,b,c,d,k;
char str[10];
struct BIT{
    int tree[N][N];
    void add(int x,int y,int z){
        for(int i=x;i<=n;i+=i&(-i))
            for(int j=y;j<=m;j+=j&(-j))
                tree[i][j]+=z;
    }
    int query(int x,int y){
        int ans=0;
        for(int i=x;i;i-=i&-i)
            for(int j=y;j;j-=j&-j)
                ans+=tree[i][j];
        return ans;
    }
}A,Ai,Aj,Aij;
inline void add(int x,int y,int z){
    A.add(x,y,z);
    Ai.add(x,y,z*x);
    Aj.add(x,y,z*y);
    Aij.add(x,y,x*y*z);
} 
inline int query(int x,int y){
    return A.query(x,y)*(x*y+x+y+1)-Ai.query(x,y)*(y+1)-Aj.query(x,y)*(x+1)+Aij.query(x,y);
}
int main(){
    scanf("%s%d%d",str,&n,&m);
    while(scanf("%s%d%d%d%d",str,&a,&b,&c,&d)>0){
        if(str[0]=='L'){
            scanf("%d",&k);
            add(a,b,k);
            add(a,d+1,-k);
            add(c+1,b,-k);
            add(c+1,d+1,k);
        }else printf("%d\n",query(c,d)-query(a-1,d)-query(c,b-1)+query(a-1,b-1));
    }
    return 0;
}