【51nod 1503】猪和回文（dp）

最新推荐文章于 2020-03-23 00:48:15 发布

overcastt

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分类专栏： dp

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本文介绍了一种算法，用于计算在一个n*m的网格中，从左上角到右下角的所有可能路径中，有多少条路径形成回文串。通过动态规划的方法，利用四维数组进行状态转移，并最终通过优化减少空间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

有一个 $n*m$ 的格，每个格内有一个字母，猪从左上向右下走，每次只能向右或向下，问到达右下时所走路径是回文的情况数

题解

$f[a][b][c][d]$ 表示从左上走到 $(a,b)$ ,从右下走到 $(c,d)$ 所经过的字符串相同的情况数

f [a] [b] [c] [d] = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f [a - 1] [b] [c + 1] [d] (a - 1, b) = (c + 1, d) f [a - 1] [b] [c] [d + 1] (a - 1, b) = (c, d + 1) f [a] [b - 1] [c + 1] [d] (a, b - 1) = (c + 1, d) f [a] [b - 1] [c] [d + 1] (a, b - 1) = (c, d + 1) (1)

$\begin{equation} f[a][b][c][d]=\begin{cases} f[a-1][b][c+1][d] \quad (a-1,b)=(c+1,d)\\ f[a-1][b][c][d+1] \quad (a-1,b)=(c,d+1)\\ f[a][b-1][c+1][d] \quad (a,b-1)=(c+1,d)\\ f[a][b-1][c][d+1] \quad (a,b-1)=(c,d+1)\\ \end{cases} \end{equation}$

然而超空间+超时间

发现 $a+b-2=n+m-c-d$ ，因此可记录 $s=a+b、a、c$ ,即 $b=s-a,d=n+m+2-s-c$

f [s] [a] [c] = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f [s - 1] [a - 1] [c + 1] (a - 1, b) = (c + 1, d) f [s - 1] [a - 1] [c] (a - 1, b) = (c, d + 1) f [s - 1] [a] [c + 1] (a, b - 1) = (c + 1, d) f [s - 1] [a] [c] (a, b - 1) = (c, d + 1) (2)

$\begin{equation} f[s][a][c]=\begin{cases} f[s-1][a-1][c+1] \quad (a-1,b)=(c+1,d)\\ f[s-1][a-1][c] \quad (a-1,b)=(c,d+1)\\ f[s-1][a][c+1] \quad (a,b-1)=(c+1,d)\\ f[s-1][a][c] \quad (a,b-1)=(c,d+1)\\ \end{cases} \end{equation}$

然后第一层s可以用滚动数组来解决

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 501
#define ll long long
#define mod 1000000007
char s[N][N];
int n,m;
ll ans=0,f[2][N][N];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",s[i]+1);
    if(s[1][1]!=s[n][m]){puts("0");return 0;}
    f[0][1][n]=1;
    for(int i=3;i<=(n+m+2)/2;i++){
        memset(f[i%2],0,sizeof(f[i%2]));
        for(int a=1;a<=n;++a){
            int b=i-a;if(b<1 || b>m) continue;
            for(int c=n;c>=1;c--){
                int d=n+m+2-i-c;if(d<1 || d>m) continue;
                if(s[a][b]!=s[c][d]) continue;
                if(a-1 && c+1<=n && s[a-1][b]==s[c+1][d]) f[i%2][a][c]=(f[i%2][a][c]+f[1-i%2][a-1][c+1])%mod;
                if(a-1 && d+1<=m && s[a-1][b]==s[c][d+1]) f[i%2][a][c]=(f[i%2][a][c]+f[1-i%2][a-1][c])%mod;
                if(b-1 && c+1<=n && s[a][b-1]==s[c+1][d]) f[i%2][a][c]=(f[i%2][a][c]+f[1-i%2][a][c+1])%mod;
                if(b-1 && d+1<=m && s[a][b-1]==s[c][d+1]) f[i%2][a][c]=(f[i%2][a][c]+f[1-i%2][a][c])%mod;
            }
        }
    }
    for(int a=1;a<=n;++a){
        for(int c=1;c<=n;++c){
            int b=(n+m+2)/2-a,d=n+m+2-(n+m+2)/2-c;
            if((n+m)%2){
                if((a==c && d-b==1) || (b==d && c-a==1)) ans=(ans+f[((n+m+2)>>1)%2][a][c])%mod;
            }else{
                if(a==c && d==b) ans=(ans+f[((n+m+2)>>1)%2][a][c])%mod;
            }
        }
    }
    printf("%I64d",ans);
    return 0;
}