HDU 4021 24 Puzzle(八数码问题扩展)

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4021

这个问题开始是不会的，就想当然做，只要交换8个死角的0位置，然后判断8个位置是否相等然后就决定能否转换到

想当然了，后来一直wa，看了题解才知道不是这样！

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <cmath>
using namespace std;
#define maxn 24
int begin[maxn],end[maxn];
int first[maxn],second[maxn],pre[maxn];
int pos[10]={0,1,2,7,16,21,22,23};
int init(){
    pre[0]=pre[2]=3,pre[1]=pre[7]=6;
    pre[16]=pre[22]=17,pre[21]=pre[23]=20;
    return 0;
}
int main(){
    int i,j,k,t,num1,num2,ans3;
    int ans1,ans2,pos1,pos2;
    init();
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        for(i=0;i<maxn;i++)
        scanf("%d",&begin[i]);
        for(i=0;i<maxn;i++)
        scanf("%d",&end[i]);
        for(i=0;i<maxn;i++)
        for(j=0;j<8;j++){
            if(begin[pos[j]]==0) begin[pos[j]]^=begin[pre[pos[j]]],\
             begin[pre[pos[j]]]^=begin[pos[j]],begin[pos[j]]^=begin[pre[pos[j]]];
            if(end[pos[j]]==0) end[pos[j]]^=end[pre[pos[j]]],\
             end[pre[pos[j]]]^=end[pos[j]],end[pos[j]]^=end[pre[pos[j]]];
        }
        for(i=0;i<8;i++)
        if(begin[pos[i]]!=end[pos[i]])
        break;
        if(i!=8){
            printf("Y\n");
            continue;
        }
        num1=num2=0;
        for(i=0;i<maxn;i++){
            for(j=0;j<8;j++)
            if(i==pos[j])
            break;
            if(j==8) first[num1++]=begin[i],second[num2++]=end[i];
        }
        ans1=ans2=pos1=pos2=0;
        pos1=pos2=-1;
        for(i=0;i<16;i++){
            if(first[i]==0) pos1=i;
            else
            for(j=0;j<i;j++)
            if(first[i]<first[j]) ans1++;
        }
        for(i=1;i<16;i++){
            if(second[i]==0) pos2=i;
            else
            for(j=0;j<i;j++)
            if(second[i]<second[j]) ans2++;
        }
        ans3=abs(pos1/4-pos2/4);
        if(abs((ans1-ans2+ans3))%2==0)printf("N\n");
            else printf("Y\n");
    }
    return 0;
}

下面是别人的题解总结的很好

题意：给出一个board，上面有24个位置，其中23个位置上放置了标有数字1~23的方块，一个为空位（用数字0表示），现在可以把空位与它旁边的方块交换，给出board的起始状态，问是否可以达到指定的状态。

思路：看起来很像著名的“八数码”问题，首先，针对八个特殊位置（死角），如果这里有空位就把它和相邻的位置交换，这样之后如果两个状态的对应死角上的数字不同，那么显然是不能达到指定状态的，因为无法把死角处的数字换出去。

搞定了死角后就只剩下4×4的board了，这就变成了八数码问题的拓展——15数码。首先想想八数码是如何判断有解的：首先把所有数字（不包括空位的0）写成一行，就得到了一个1~8的排列，考虑空位的交换情况：1.左右交换，2.上下交换。对于左右交换而言，是不会改变写出的排列的逆序数的；而对上下交换，相当于在排列中向前或向后跳了两个位置，那么要么两个数都比它大或小，这样逆序数加2或减2，要么两个数一个比它大一个比它小，这样逆序数不变，综上，对于八数码问题，操作不会改变逆序数的奇偶性，所以只有初始状态和指定状态的逆序数奇偶性相同就有解。

弄清楚了八数码，扩展起来就容易了，现在我们将其扩展到N维（即N*N的board，N*N-1数码问题）。

首先无论N的奇偶，左右交换不改变逆序数，N为奇数时：上下交换逆序数增加N-1或减少N-1或不变，因为N为奇数，所以逆序数奇偶性不变；而N为偶数时：上下交换一次奇偶性改变一次。

结论：N为奇数时，初始状态与指定状态逆序数奇偶性相同即有解；N为偶数时，先计算出从初始状态到指定状态，空位要移动的行数m，如果初始状态的逆序数加上m与指定状态的逆序数奇偶性相同，则有解。

好了，现在这道题就简单了，计算逆序数和空格要移动的行数即可。