第六章线性空间与线性变换第四五节线性变换/线性变换的矩阵表示

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本文深入探讨了线性变换的概念及其性质，包括线性变换的定义、基本运算及线性相关性的保持，并介绍了线性变换的矩阵表示方法，通过选定基底来构造变换矩阵，揭示了线性变换在不同基底下的矩阵关系。

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§6.4 线性变换
§6.5 线性变换的矩阵表示

6.4 线性变换

设有两个非空集合 $A, B$ ,如果对于 $A$ 中任一元素 $α\alpha$ ,按照一定的规则，总有 $B$ 中一个确定的元素 $β\beta$ 和它对应，那么，这个对应规则称为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的映射。记作 $T$ . $β=T(α),β=Tα(α∈A)\beta = T(\alpha),\beta=T\alpha(\alpha\in A)$
设 $V_{n},U_{m}$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维线性空间， $T$ 是一个从 $V_{n}$ 到 $U_{m}$ 的映射，如果映射 $T$ 满足：
1.任给 $α1,α2∈Vn\alpha_{1},\alpha_{2}\in V_{n}$ (从而 $α1+α2∈Vn\alpha_{1}+\alpha_{2}\in V_{n}$ ),有
$T(α1+α2)=T(α1)+T(α2);T(\alpha_{1}+\alpha_{2})=T(\alpha_{1})+T(\alpha_{2});$
2.任给 $α∈Vn,λ∈R\alpha\in V_{n},\lambda\in R$ (从而 $λα∈Vn\lambda\alpha \in V_{n}$ ),有
$T(λα)=λT(α),T(\lambda\alpha)=\lambda T(\alpha),$
那么， $T$ 就称为从 $V_{n}$ 到 $U_{m}$ 的线性映射，或称为线性变换。

性质

1. $T0=0,T(−α)=−T(α);T0=0,T(-\alpha)=-T(\alpha);$
2.若 $β=k1α1+k2α2+⋯+kmαm\beta=k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{m}\alpha_{m}$ ,则
$Tβ=k1Tα1+k2Yα2+⋯+kmYαm;T\beta=k_{1}T\alpha_{1}+k_{2}Y\alpha_{2}+\cdots+k_{m}Y\alpha_{m};$
3.若 $α1,α2,⋯ ,αm\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$ 线性相关，则 $Tα1,Tα2,⋯ ,TαmT\alpha_{1},T\alpha_{2},\cdots,T\alpha_{m}$ 也线性相关
4.线性变换 $T$ 的像集 $T(V_{n})$ 是一个线性空间，称为线性变换 $T$ 的像空间；
5.使 $Tα=0T\alpha=0$ 的 $α\alpha$ 全体
$ST={α∣α∈Vn,Tα=0},S_{T}=\{\alpha|\alpha\in V_{n},T\alpha=0\},$
也是一个线性空间， $S_{T}$ 称为线性变换 $T$ 的核。

6.5 线性变换的矩阵表示

设 $T$ 是线性空间 $V_{n}$ 中的线性变换，在 $V_{n}$ 中取定一个基 $α1,α2,⋯ ,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ ,如果这个基在变换 $T$ 下的像(用这个基线性表示)为：
$\begin{cases} T(\alpha_{1})=a_{11}\alpha_{1}+a_{21}\alpha_{2}+\cdots+a_{n1}\alpha_{n},\\ T(\alpha_{2})=a_{12}\alpha_{1}+a_{22}\alpha_{2}+\cdots+a_{n2}\alpha_{n},\\ \cdots\cdots\\ T(\alpha_{n})=a_{1n}\alpha_{1}+a_{2n}\alpha_{2}+\cdots+a_{nn}\alpha_{n}, \end{cases}$
其中 $A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann),A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{matrix}\right),$ 那么， $A$ 就称为线性变换 $T$ 在基 $α1,α2,⋯ ,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 下的矩阵。

定理

设线性空间 $V_{n}$ 中取定两个基
$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n};\\ \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n},$
有基 $α1,α2,⋯ ,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 到基 $β1,β2,⋯ ,βn\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$ 的过渡矩阵 $P$ , $V_{n}$ 中的线性变换 $T$ 在这两个基下的矩阵依次为 $A$ 和 $B$ ,那么 $B=P^{-1}AP.$
线性变换 $T$ 的像空间 $T(V_{n})$ 的维数，称为线性变换 $T$ 的秩。