第五章相似矩阵及二次型第五六七节二次型及其标准型/用配方法化二次型为标准型/正定二次型

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sunny1235435/article/details/90018733

§5.5 二次型及其标准型
§5.6 用配方法化二次型为标准型
§5.7 正定二次型

5.5 二次型及其标准型

含有 $n$ 个变量 $x1,x2,⋯ ,xnx_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 的二次齐次函数
$f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=a_{11}x_{1}^{2}+a_{22}x_{2}^{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}^{2}\\+2a_{12}x_{1}x_{2}+2a_{13}x_{1}x_{3}+\cdots+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_{n}$
称为二次型。
取 $a_{ji}=a_{ij}$ ,则 $2a_{ij}x_{i}x_{j}=a_{ij}x_{i}x_{j}+a_{ji}x_{j}x_{i}$ ,于是
$a_{11}x_{1}^{2}+a_{12}x_{1}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{1}x_{n}\\+ a_{21}x_{2}x_{1}+a_{22}x_{2}^{2}+\cdots+a_{2n}x_{2}x_{n}\\+ \cdots \\ +a_{n1}x_{n}x_{1}+a_{n2}x_{n}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}^{2}\\ =\sum^{n}_{i,j=1}{a_{ij}x_{i}x_{j}}$
只含平方项的二次型，称为二次型的标准形(或法式)。
如果标准型的系数 $k1,k2,⋯ ,knk_{1},k_{2},\cdots,k_{n}$ 只在 $1, 0, - 1$ 三个数中取值
$f=y12+⋯+yp2−yp+12−⋯−yr2f=y_{1}^{2}+\cdots+y_{p}^{2}-y_{p+1}^{2}-\cdots-y_{r}^{2}$
称上式为二次型的规范形。
二次型可记做
$f=x^{T}Ax$
其中 $A$ 为对称阵。
二次型和对称阵之间是一一对应的关系，对称阵 $A$ 叫做二次型 $f$ 的矩阵，也把 $f$ 叫做对称阵 $A$ 的二次型，对称阵 $A$ 的秩叫做二次型 $f$ 的秩。
设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶矩阵，若有可逆矩阵 $C$ ，使 $B=C^{T}AC$ ,则称矩阵 $A$ 和 $B$ 合同。

定理

任给二次型 $f=∑i,j=1naijxixj(aij=aji)f=\sum_{i,j=1}^{n}{a_{ij}x_{i}x_{j}}(a_{ij}=a_{ji})$ ,总有正交变换 $x = P y$ ,使 $f$ 化为标准形
$f=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2f=\lambda_{1}y_{1}^{2}+\lambda_{2}y_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n}y_{n}^{2}$
其中 $λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$ 是 $f$ 的矩阵 $A=(a_{ij})$ 的特征值。

推论

任给 $n$ 元二次型 $f(x)=x^{T}Ax(A^{T}=A)$ ,总有可逆变换 $x = C z$ ,使 $f (C z)$ 为规范形。

5.6 用配方法化二次型为标准型

拉格朗日配方法

5.7 正定二次型

定理(惯性定理)

设有二次型 $f=x^{T}Ax$ ,它的秩为 $r$ ,有两个可逆变换
$x = C y, x = P z$
使
$f=k_{1}y_{1}^{2}+k_{2}y_{2}^{2}+\cdots+k_{r}y_{r}^{2}(k_{i}\neq 0)\\ f=\lambda_{1}z_{1}^{2}+\lambda_{2}z_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{r}z_{r}^{2}(\lambda_{i}\neq 0)$
则 $k1,⋯ ,krk_{1},\cdots,k_{r}$ 和 $λ1,⋯ ,λr\lambda_{1},\cdots,\lambda_{r}$ 中正数的个数相等。
正系数的个数为正惯性指数，负系数的个数为负惯性指数。
若二次型的正惯性指数为 $p$ ,秩为 $r$ ，则 $f$ 的规范形为
$f=y12+⋯+yp2−yp+12−⋯−yr2f=y_{1}^{2}+\cdots+y_{p}^{2}-y_{p+1}^{2}-\cdots-y_{r}^{2}$
设有二次型 $f=x^{T}Ax$ ,如果对任何 $x≠0x\neq 0$ ,都有 $f (x) > 0$ (显然 $f (0) = 0$ ),则称 $f$ 为正定二次型，并称对称阵 $A$ 是正定的；如果对任何 $x≠0x\neq 0$ 都有 $f (x) < 0$ ,则称 $f$ 为负定二次型，并称对称阵 $A$ 是负定的。

定理

$n$ 元二次型 $f=x^{T}Ax$ 为正定的充要条件：它的标准形的 $n$ 个系数全为正，即它的规范形的 $n$ 个系数全为 $1$ ,亦即它的正惯性指数等于 $n$ .

推论

对称阵 $A$ 为正定的充要条件： $A$ 的特征值全为正。

定理(赫尔维茨定理)

对称阵 $A$ 为正定的充要条件： $A$ 的各阶主子式都为正，即
$a_{11}>0, \left|\begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{matrix}\right|>0, \cdots \left|\begin{matrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{matrix}\right|>0,$
对称阵 $A$ 为负定的充要条件：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即
$(-1)^{r} \left|\begin{matrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{r1}&\cdots&a_{rr} \end{matrix}\right|>0(r=1,2,\cdots,n).$