Leetcode416. 分割等和子集

原创已于 2022-08-26 10:49:49 修改 · 671 阅读

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#算法 #数据结构 #动态规划

于 2022-08-25 10:17:21 首次发布

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本文介绍了解决LeetCode416题——分割等和子集的方法。该题要求判断一个正整数数组是否可以分为两个子集，使两子集元素和相等。通过动态规划算法解决此问题，首先判断数组长度和元素总和是否符合条件，然后使用二维数组dp记录可能的子集和。

Leetcode416. 分割等和子集

题目：
给你一个只包含正整数的非空数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

题解：
动态规划：

数组长度 $n < 2$ ,返回false;
数组所有元素和 $sum\textit{sum}$ 以及最大元素 $maxNum\textit{maxNum}$ ,如果 $sum\textit{sum}$ 是奇数，返回false;
如果 $sum\textit{sum}$ 是偶数， $target=sum2\textit{target}=\frac{\textit{sum}}{2}$ ,需要判断是否可以从数组中选出一些数字，使得这些数字的和等于 $target\textit{target}$ ,如果 $maxNum>target\textit{maxNum}>\textit{target}$ ，则除了 $maxNum\textit{maxNum}$ 以外的所有元素之和一定小于 $target\textit{target}$ ，因此不可能将数组分割成元素和相等的两个子集，直接返回false;

创建二维数组 $dp\textit{dp}$ ，包含 $n$ 行 $target+1\textit{target}+1$ 列，其中 $dp[i][j]\textit{dp}[i][j]$ 表示从数组的 $[0, i]$ 下标范围内选取若干个正整数（可以是 0 个），是否存在一种选取方案使得被选取的正整数的和等于 $j$ 。初始时， $dp\textit{dp}$ 中的全部元素都是 $false\text{false}$ 。

在定义状态之后，需要考虑边界情况。以下两种情况都属于边界情况。

如果不选取任何正整数，则被选取的正整数等于 0。因此对于所有 $\le i$ < n，都有 $dp[i][0]=true\textit{dp}[i][0]=\text{true}$ 。
当 $i = 0$ 时，只有一个正整数 $nums[0]\textit{nums}[0]$ 可以被选取，因此 $dp[0][nums[0]]=true\textit{dp}[0][\textit{nums}[0]]=\text{true}$ 。

对于 $i > 0$ 且 $j > 0$ 的情况，如何确定 $dp[i][j]\textit{dp}[i][j]$ 的值？需要分别考虑以下两种情况。

如果 $\ge \textit{nums}[i]$ ，则对于当前的数字 $n u m s [i]$ ，可以选取也可以不选取，两种情况只要有一个为 $t r u e$ ，就有 $dp[i][j]=true\textit{dp}[i][j]=\text{true}$ 。

如果不选取 $nums[i]\textit{nums}[i]$ ，则 $dp[i][j]=dp[i−1][j]\textit{dp}[i][j]=\textit{dp}[i-1][j]$ ；
如果选取 $n u m s [i]$ ，则 $dp[i][j]=dp[i−1][j−nums[i]]\textit{dp}[i][j]=\textit{dp}[i-1][j-\textit{nums}[i]]$ 。

如果 $\textit{nums}[i]$ ，则在选取的数字的和等于 $j$ 的情况下无法选取当前的数字 $n u m s [i]$ ，因此有
$dp[i][j]=dp[i−1][j]\textit{dp}[i][j]=\textit{dp}[i-1][j]$ 。

状态转移方程如下：

$dp[i−1][j−nums[i]],j≥nums[i]dp[i−1][j],j<nums[i]\textit{dp}[i][j]=\begin{cases} \textit{dp}[i-1][j]~|~\textit{dp}[i-1][j-\textit{nums}[i]], & j \ge \textit{nums}[i] \\ \textit{dp}[i-1][j], & j < \textit{nums}[i] \end{cases}$

最终得到 $dp[n−1][target]\textit{dp}[n-1][\textit{target}]$ 即为答案。

java代码：

    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        if (n < 2) return false;
        int sum = 0;
        int maxValue = 0;
        for (int num : nums) {
            sum += num;
            maxValue = Math.max(maxValue, num);
        }
        //总和是奇数
        if (sum % 2 != 0) {
            return false;
        }
        //最大值超过总和的一半
        int target = sum / 2;
        if (maxValue > target) {
            return false;
        }
        // dp[i][j] : 从[0,i]中选取nums中的若干个正整数使得和为j
        boolean[][] dp = new boolean[n][target + 1];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            //从[0,i]中不选任何正整数
            dp[i][0] = true;
        }
        //i=0时，只有一个正数nums[0]可以被选取
        dp[0][nums[0]] = true;

        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int num = nums[i];
            for (int j = 1; j <= target; j++) {
                if (j >= num) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - num];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[n - 1][target];
    }