无重复字符的最长子串

给定一个字符串 s ，请你找出其中不含有重复字符的最长子串的长度。

示例 1:

输入: s = “abcabcbb”
输出: 3
解释: 因为无重复字符的最长子串是 “abc”，所以其长度为 3。
示例 2:

输入: s = “bbbbb”
输出: 1
解释: 因为无重复字符的最长子串是 “b”，所以其长度为 1。
示例 3:

输入: s = “pwwkew”
输出: 3
解释: 因为无重复字符的最长子串是 “wke”，所以其长度为 3。
请注意，你的答案必须是 子串 的长度，“pwke” 是一个子序列，不是子串。

提示：

0 <= s.length <= 5 * $10^4$
s 由英文字母、数字、符号和空格组成

解法1：动态规划

我对动态规划方法的总结是：按照定义找出递推公式；最好手写一个简单例子的解决过程。

设$f(i,j)$表示子串从 $i$ 到 $j$ 是否是一个无重复的子串，0表示否，1表示是。$f(i,j)$ 是无重复子串，那么 $f(i,j-1)$ 也一定是（当然 $f(i+1,j)$ 也是）。因此递推公式是：

$$f(i,j)=\{\begin{array}{ll}1& i=j\\ s[i]!=s[j]& i+1=j\\ s[j]\notin s[i:j]& i+1<j\end{array}$$

    def lengthOfLongestSubstring(self, s: str) -> int:
        length = 0
        sub = ''
        if len(s) <= 1:
            return len(s)
        dp = [[0] * len(s) for i in range(len(s))]
        for i in range(len(s)-1, -1, -1):
            for j in range(i, len(s)):
                if i==j:
                    dp[i][j]=1
                    if 1 > length:
                        length = 1
                        sub = s[i]
                elif i + 1 == j:
                    if s[i] != s[j]:
                        dp[i][j] = 1
                        if 2 > length:
                            length = 2
                            sub = s[i:j+1]
                    else:
                        break
                elif i+1 < j:
                    if s[j] not in s[i:j]:
                        dp[i][j] = 1
                        if (j-i+1) > length:
                            length = j-i+1
                            sub = s[i:j+1]
                    else:
                        break

        return length, sub

注意代码的20,28行，如果写个例子就会发现，当 $f(i,j)$ 是0的时候， $f(i,k)k>j$ 都是0。

解法2

动态规划法在leecode中会超时，动态规划解法的复杂度是 $O(n^2)$。这个问题可以在 $O(n)$ 的时间内解决。

def lengthOfLongestSubstring(self, s):
    st = {} #记录字符串中每个字符的最大位置
    i, ans = 0, 0 #i是一个指针，指向离当前位置最近的一个重复字符的位置
    for j in range(len(s)):
        if s[j] in st:
            i = max(st[s[j]], i)
        ans = max(ans, j - i + 1)
        st[s[j]] = j + 1
    return ans

从头遍历字符串 $s$，用 $st$ 记录每个字符的位置（从1开始），如果没有重复字符，遍历结束后最后一个字符位置就是题目的解，但是如果遇到重复字符，重复字符前的子串就是目前最长的子串，如果存在更长的子串，必然从重复字符位置开始算，所以用 $i$ 记住这个重复字符的位置，代码里主循环的7,8行好理解，5,6行可以拿例子：abba 来理解。