编辑距离算法

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于 2021-05-11 16:39:16 首次发布

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概述

编辑距离（Minimum Edit Distance，MED），由俄罗斯科学家 Vladimir Levenshtein 在1965年提出，也因此而得名 Levenshtein Distance。

在信息论、语言学和计算机科学领域，Levenshtein Distance 是用来度量两个序列相似程度的指标。通俗地来讲，编辑距离指的是在两个单词 $w_1, w_2>$ 之间，由其中一个单词 $w_1$ 转换为另一个单词 $w_2$ 所需要的最少单字符编辑操作次数。

在这里定义的单字符编辑操作有且仅有三种：

插入（Insertion）
删除（Deletion）
替换（Substitution）

形式化定义

假设有俩个字符串str1和str2，如果两个字符串首位的字符有相等的情况的话，比如首字符相等，那么这两个字符串的编辑距离就等于"str1[1:]和str2[1:]"的编辑距离；如果首位不存在相等的情况，那么这个位置必然对最终编辑距离的产生影响，即编辑距离等于"str1[1:]和str2"或者"str2[1:]和str1"中编辑距离的最小者加1。这就形成了一个递推关系，公式如下

$leva,b(i,j)={max{i,j},ifmin{i,j}=0min{leva,b(i−1,j)+1leva,b(i,j−1)+1leva,b(i−1,j−1)+1(ai≠bi)otherwise.lev_{a,b}(i,j)= \begin{cases} max\{i,j\},\quad if \quad min\{i,j\}=0 \\ min \begin{cases} lev_{a,b}(i-1,j) + 1 \\ lev_{a,b}(i,j-1) + 1 \\ lev_{a,b}(i-1,j-1)+1_{(a_i \neq b_i)} \end{cases} \quad otherwise. \end{cases}$

a,b表示字符串，i,j是长度

$lev_{a,b}(i-1,j) + 1$ 表示删除 $a_i$

$lev_{a,b}(i,j-1) + 1$ 表示删除 $b_j$

$leva,b(i−1,j−1)+I(ai≠bi)lev_{a,b}(i-1,j-1)+I_{(a_i \neq b_i)}$ 表示替换 $b_j$

$I(ai≠bi)I_{(a_i \neq b_i)}$ 为一个指示函数。相等时等于0，不相等时等于1.

两个字符串删除和插入是等价的，即a串（dogs)的删除和b串（dog)插入是等价的，替换也是等价的（bat, cat)。

问题能够分解成子问题的形式。想到：自顶向下的递归和自底向上的动态规划

动态规划方法通常需要初始化一个矩阵来记录各个子问题。

以 xxc和 xyz 为例，建立一个矩阵，通过矩阵记录计算好的距离：

在这里插入图片描述

初始化矩阵的第一行和第一列:

在这里插入图片描述

推导第二行
在这里插入图片描述

直到最后完成
在这里插入图片描述

动态规划算法实现

def Levenshtein_Distance(x1, x2):
    #初始化矩阵， 第一行和第一列是正确值
    matrix = [[i+j for i in range(len(x2)+1)] for j in range(len(x1)+1)]
    #从第二行第二列开始更新矩阵
    for i in range(1, len(x1) + 1):
        for j in range(1, len(x2) + 1):
            if x1[i-1] == x2[j-1]:
                t = 0
            else:
                t = 1

            matrix[i][j] = min(matrix[i-1][j] + t, matrix[i][j-1] + t, matrix[i-1][j-1] + t)
    return matrix[len(x1)][len(x2)]