LSTM

转载：LSTM模型与前向反向传播算法

由于RNN也有梯度消失的问题，因此很难处理长序列的数据，大牛们对RNN做了改进，得到了RNN的特例LSTM（Long Short-Term Memory），它可以避免常规RNN的梯度消失，因此在工业界得到了广泛的应用。

从RNN到LSTM

在RNN模型里，我们讲到了RNN具有如下的结构，每个序列索引位置t都有一个隐藏状态 $h^{(t)}$。

如果我们略去每层都有的 $o^{(t)},L^{(t)},y^{(t)}$，则RNN的模型可以简化成如下图的形式：

由于RNN梯度消失的问题，大牛们对于序列索引位置t的隐藏结构做了改进，可以说通过一些技巧让隐藏结构复杂了起来，来避免梯度消失的问题，这样的特殊RNN就是我们的LSTM。由于LSTM有很多的变种，这里我们以最常见的LSTM为例讲述。LSTM的结构如下图：

LSTM模型结构剖析

上面我们给出了LSTM的模型结构，下面我们就一点点的剖析LSTM模型在每个序列索引位置t时刻的内部结构。

从上图中可以看出，在每个序列索引位置t时刻向前传播的除了和RNN一样的隐藏状态$h^{(t)}$，还多了另一个隐藏状态，如图中上面的长横线。这个隐藏状态我们一般称为细胞状态(Cell State)，记为$C^{(t)}$。如下图所示：

除了细胞状态，LSTM图中还有了很多奇怪的结构，这些结构一般称之为门控结构(Gate)。LSTM在在每个序列索引位置t的门一般包括遗忘门，输入门和输出门三种。下面我们就来研究上图中LSTM的遗忘门，输入门和输出门以及细胞状态。

遗忘门

遗忘门（forget gate）顾名思义，是控制是否遗忘的，在LSTM中即以一定的概率控制是否遗忘上一层的隐藏细胞状态。遗忘门子结构如下图所示：

图中输入的有上一序列的隐藏状态$h^{(t-1)}$和本序列数据$x^{(t)}$，通过一个激活函数，一般是sigmoid，得到遗忘门的输出$f^{(t)}$。由于sigmoid的输出$f^{(t)}$在[0,1]之间，因此这里的输出$f^{(t)}$代表了遗忘上一层隐藏细胞状态的概率。用数学表达式即为：

$$f^{(t)}=\sigma (W_f{h}^{(t-1)}+U_f{x}^{(t)}+b_f)$$

其中$W_f,U_f,b_f$为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。σ为sigmoid激活函数。

LSTM 之输入门

输入门（input gate）负责处理当前序列位置的输入，它的子结构如下图：

从图中可以看到输入门由两部分组成，第一部分使用了sigmoid激活函数，输出为$i^{(t)}$,第二部分使用了tanh激活函数，输出为$a^{(t)}$, 两者的结果后面会相乘再去更新细胞状态。用数学表达式即为：

$$\begin{gathered} i^{(t)}=\sigma (W_i{h}^{(t-1)}+U_i{x}^{(t)}+b_i) \\ {a}^{(t)}=tanh(W_a{h}^{(t-1)}+U_a{x}^{(t)}+b_a) \end{gathered}$$

其中$W_i,U_i,b_i,W_a,U_a,b_a$,为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。σ为sigmoid激活函数。

LSTM之细胞状态更新

在研究LSTM输出门之前，我们要先看看LSTM之细胞状态。前面的遗忘门和输入门的结果都会作用于细胞状态$C^{(t)}$。我们来看看从细胞状态$C^{(t-1)}$如何得到$C^{(t)}$。如下图所示：

细胞状态$C^{(t)}$由两部分组成，第一部分是$C^{(t-1)}$和遗忘门输出$f^{(t)}$的乘积，第二部分是输入门的$i^{(t)}$和$a^{(t)}$的乘积，即：

$$C^{(t)}=C^{(t-1)}\odot f^{(t)}+i^{(t)}\odot a^{(t)}$$

其中，⊙为Hadamard积，在DNN中也用到过。

哈达玛（Hadamard）积：两个形状相同的矩阵同位置相乘。（不同于矩阵乘法）

LSTM之输出门

有了新的隐藏细胞状态$C^{(t)}$，我们就可以来看输出门了，子结构如下：

从图中可以看出，隐藏状态$h^{(t)}$的更新由两部分组成，第一部分是$o^{(t)}$, 它由上一序列的隐藏状态$h^{(t-1)}$和本序列数据$x^{(t)}$，以及激活函数sigmoid得到，第二部分由隐藏状态$C^{(t)}$和tanh激活函数组成, 即：

$$\begin{gathered} o^{(t)}=\sigma (W_o{h}^{(t-1)}+U_o{x}^{(t)}+b_o) \\ {h}^{(t)}=o^{(t)}\odot tanh(C^{(t)}) \end{gathered}$$

通过本节的剖析，相信大家对于LSTM的模型结构已经有了解了。当然，有些LSTM的结构和上面的LSTM图稍有不同，但是原理是完全一样的。

LSTM前向传播算法

现在我们来总结下LSTM前向传播算法。LSTM模型有两个隐藏状态$h^{(t)},C^{(t)}$，模型参数几乎是RNN的4倍，因为现在多了$W_f,U_f,b_f,W_a,U_a,b_a,W_i,U_i,b_i,W_o,U_o,b_o$这些参数。

前向传播过程在每个序列索引位置的过程为：

1）更新遗忘门输出：

$$f^{(t)}=\sigma (W_f{h}^{(t-1)}+U_f{x}^{(t)}+b_f)$$

2）更新输入门两部分输出：

$$\begin{gathered} i^{(t)}=\sigma (W_i{h}^{(t-1)}+U_i{x}^{(t)}+b_i) \\ {a}^{(t)}=tanh(W_a{h}^{(t-1)}+U_a{x}^{(t)}+b_a) \end{gathered}$$

3）更新细胞状态：

$$C^{(t)}=C^{(t-1)}\odot f^{(t)}+i^{(t)}\odot a^{(t)}$$

4）更新输出门输出：

$$\begin{gathered} o^{(t)}=\sigma (W_o{h}^{(t-1)}+U_o{x}^{(t)}+b_o) \\ {h}^{(t)}=o^{(t)}\odot tanh(C^{(t)}) \end{gathered}$$

5）更新当前序列索引预测输出：

$${\hat{y}}^{(t)}=\sigma (V{h}^{(t)}+c)$$

LSTM小结

LSTM虽然结构复杂，但是只要理顺了里面的各个部分和之间的关系，进而理解前向反向传播算法是不难的。当然实际应用中LSTM的难点不在前向反向传播算法，这些有算法库帮你搞定，模型结构和一大堆参数的调参才是让人头痛的问题。不过，理解LSTM模型结构仍然是高效使用的前提。

和之间的关系，进而理解前向反向传播算法是不难的。当然实际应用中LSTM的难点不在前向反向传播算法，这些有算法库帮你搞定，模型结构和一大堆参数的调参才是让人头痛的问题。不过，理解LSTM模型结构仍然是高效使用的前提。