斐波那契数列（有疑问）

题目：写一个函数，输入n，求Fibonacci数列的第n项。

$$\begin{equation} \notag f(n)= \left\{ \begin{aligned} &0,&n&= 0,\\ &1,&n&=1,\\ &f(n - 1) + f(n - 2),&n&>1. \end{aligned} \right. \end{equation}$$

方法1：

long long Fibonacci(unsigned int n){
    if (n <= 0){
        return 0;
    }

    if (n == 1){
        return 1;
    }

    return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}

上述代码缺点：很多重复计算，时间复杂度以指数方式递增。

方法2：时间复杂度$O(n)$

long long Fibonacci(unsigned n){
    int result[2] = {0, 1};
    if (n < 2){
        return result[n];
    }

    long long fibNMinusOne = 1;
    long long fibNMinusTwo = 0;
    long long fibN = 0;
    for (unsigned int i = 2; i <= n; ++ i){
        fibN = fibdNMinusOne + fibNMinusTwo;
        fibNMinusTwo = fibNMinusOne;
        fibNMinusOne = fibN;
    }
    return fibN;
}

方法3：时间复杂度$O(logn)$

也就是说求矩阵即可得到$f(n)$. 考虑如下性质：

$$\begin{equation} \notag a^n= \left\{ \begin{aligned} &a^{n/2},&n为偶数,\\ &a^{(n - 1)/2}*a^{(n - 1)/2},&n为奇数. \end{aligned} \right. \end{equation}$$

类似题目1：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。请该青蛙跳上一个n级台阶总共有多少种跳法。

类似题目2：一直青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级$\cdots\cdots$它也可以跳上n级，此时该青蛙跳上一个n级台阶总共有多少种跳法？（用数学归纳法可以证明$f(n) = 2^{n - 1}$）（不理解怎么做的）

类似题目3：用$2\times 1$的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用8个$2\times 1$的小矩形无重叠覆盖一个$2\times 8$的大矩形，总共有多少种方法？

方法：把$2\times 8$的覆盖方法记为$f(8)$。用第一个$1\times 2$小矩形去覆盖大矩形的最左边时有两个选择，横着或竖着放。当竖着放时，右边还剩下$2\times 7$的区域，这种情形下的覆盖方法记为$f(7)$。当横着放时，还可以再放一个$1\times 2$，在右边剩下$2\times 6$的区域，这种情形下覆盖方法记为$f(6)$。因此$f(8) = f(7) + f(6)$。仍然是斐波那契数列