【学习笔记】一些常用的数学公式

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本文深入探讨了数学中常见的级数表示法，包括e的泰勒级数、指数函数、对数函数、正弦函数和余弦函数的级数展开形式。通过对这些函数的级数表达式的详细解析，揭示了它们内在的数学美和严谨性。

                    
                    e=∑n=01n!e=\sum_{n=0}\frac{1}{n!}e=∑n=0​n!1​

ex=∑n=0xnn!e^x=\sum_{n=0}\frac{x^n}{n!}ex=∑n=0​n!xn​ex=∑n=0xnn!e^x=\sum_{n=0}\frac{x^n}{n!}ex=∑n=0​n!xn​
ln⁡(1−x)=∑n=1xnn\ln(1-x)=\sum_{n=1}\frac{x^n}{n}ln(1−x)=∑n=1​nxn​

ln⁡(1+x)=∑n=1(−1)nxnn\ln(1+x)=\sum_{n=1}(-1)^n\frac{x^n}{n}ln(1+x)=∑n=1​(−1)nnxn​

两边同时求导即可。
sin⁡x=∑n=0(−1)nx2n+1(2n+1)!\sin x=\sum_{n=0} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}sinx=∑n=0​(−1)n(2n+1)!x2n+1​

cos⁡x=∑n=0(−1)nx2n(2n)!\cos x=\sum_{n=0} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}cosx=∑n=0​(−1)n(2n)!x2n​

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \thetaeiθ=cosθ+isinθ带入即可。