连通问题算法

写一段程序以实现“给出两点，判断其是否连通”。

 

这个题目可以应用于很多实际问题，如：两个城市间是否有铁路相连，两个电子元件是否有电路相连，两个终端是否有网络相连……此算法仅仅判断是否连通，如果还要求给出连通的具体路径，难度将陡然增加，并且会把问题引入另一个领域——图。

我的第一感觉是把所有节点用一个二维数组存储。在草纸上稍加勾画后便会发现几个问题：

1)        对于N个节点，需要N * N 个空间存储，当连通较少时大量的空间将会闲置，无论任何时候，浪费都是一种罪过；

2)        实现困难，不信的话就自己试试吧；

3)        这毫无疑问是最糟糕的方法。

其实稍加思考可以将空间减少指数级：用一维数组构造连通器，如果节点p、q连通，则令id[p] == id[q]。

下面是代码片段：

 

 public abstract class Arithmetic { protected int id[] = new int[Constant.N]; public Arithmetic() { init(); } private void init() { for(int i = 0; i < Constant.N; i++) { id[i] = i; } } public abstract void createConnect(int p, int q); public abstract boolean isConnect(int p, int q); }  

public class Arithmetic_1 extends Arithmetic { public Arithmetic_1() { super(); } @Override public void createConnect(int p, int q) { int t = id[p]; for(int i = 0; i < Constant.N; i++) { if(id[i] == t) id[i] = id[q]; } } @Override public boolean isConnect(int p, int q) { return id[p] == id[q]; } }   

为其编写单元测试：

 

public class MockArithmetic_1 extends Arithmetic_1 { public MockArithmetic_1() { super(); } public void createConnectTemplete() { createConnect(1, 2); createConnect(2, 3); createConnect(4, 5); createConnect(3, 5); } } public class TestArithmetic_1 extends TestCase { private MockArithmetic_1 ac_1; public void setUp() { ac_1 = new MockArithmetic_1(); } public void testCreateConnect() { ac_1.createConnectTemplete(); this.assertTrue(ac_1.isConnect(1, 5)); this.assertTrue(ac_1.isConnect(2, 5)); this.assertFalse(ac_1.isConnect(2, 9)); } }

public void createConnect(int p, int q) { int i,j; for(i = p; i != id[i]; i = id[i]); for(j = q; j != id[j]; j = id[j]); if(i != j) id[i] = j; } public boolean isConnect(int p, int q) { int i,j; for(i = p; i != id[i]; i = id[i]); for(j = q; j != id[j]; j = id[j]); return i == j; }

运行一下，测试条变成了愉快的绿色。

上面的代码可以解决一下小问题。当我试着对10,000个顺序自然数构随机构造10,000次连通时，它花了我一杯咖啡的时间！估计再增加一个0，想要得到结果就得等到“中国老百姓看病最不难”那天真正来临。

分析一下效率就知道，对N个数的M次连通，每次构造连通器都会花费N次循环，效率是N*M。如果看成一棵树的话，每次构造连通都将把整棵树毁掉，然后重新打造；如果把两个棵树合并，则需要同时毁掉两棵树，这可真够呛！

把两棵树合并的最简方法就是直接把树根合并，按照这个思路改进的代码如下：

 

 

通过指针追溯的方式回答两点是否连通。

同样对10,000个顺序自然数构随机构造10,000次连通的测试，虽然可以马上产生连通器，但是在判断是否连通时花费了一些时间，对于大数据的实践，这个算法同样不适用。

方法二的结果似乎严重依赖输入，它通常枝繁叶茂，但有可能变得比摩天大楼还高，而且营养不良，正是这点严重影响了isConnect的效率。

如果你的方法可以改进，那么它通常可以进一步改进。接下来要做的就是使摩天大楼变成古老的中式建筑群。很简单，在方法二的基础上为树加权，使用另外一个数组sz[]来维护每棵连通树的节点个数，每次合并都会将较小的树连接到较大的树上。

private int sz[] = new int[Constant.N]; public Arithmetic_3() { super(); for(int i = 0; i < Constant.N; i++) sz[i] = 1; } @Override public void createConnect(int p, int q) { int i,j; for(i = p; i != id[i]; i = id[i]); for(j = q; j != id[j]; j = id[j]); if(i != j) { //将较小的树连接到较大的树上 if(sz[i] < sz[j]) { id[i] = j; sz[j] += sz[i]; } else { id[j] = i; sz[i] += sz[j]; } } }   

这次我甚至可以轻松的对1,000,000个顺序自然数构随机构造1,000,000次连通并很快得到两点是否连通的答案。

最近为东方有线单据系统调试了很多性能问题，一个显而易见的结论是：一个糟糕的算法可以轻易耗尽计算机资源，让双核CPU顷刻间变成两只蜗牛。性能往往在不经意间流失，只要认真思考就能挽回一个甚至几个数量级的时间，要知道，时间就是￥。

这次我甚至可以轻松的对1,000,000个顺序自然数构随机构造1,000,000次连通并很快得到两点是否连通的答案。

最近为东方有线单据系统调试了很多性能问题，一个显而易见的结论是：一个糟糕的算法可以轻易耗尽计算机资源，让双核CPU顷刻间变成两只蜗牛。性能往往在不经意间流失，只要认真思考就能挽回一个甚至几个数量级的时间，要知道，时间就是￥。