四边形不等式优化dp-简介

最有代价用d[i,j]表示 
d[i,j]=min{d[i,k-1]+d[k+1,j]}+w[i,j] 
其中w[i,j]=sum[i,j] 
四边形不等式   
     w[a,c]+w[b,d]<=w[b,c]+w[a,d](a<b<c<d) 就称其满足凸四边形不等式 
决策单调性 
     w[i,j]<=w[i',j']   ([i,j]属于[i',j']) 既 i'<=i<j<=j'


于是有以下三个定理 


定理一： 如果w同时满足四边形不等式 和 决策单调性 ,则d也满足四边形不等式
定理二：当定理一的条件满足时，让d[i,j]取最小值的k为K[i,j]，则K[i,j-1]<=K[i,j]<=K[i+1,j] 
定理三：w为凸当且仅当w[i,j]+w[i+1,j+1]<=w[i+1,j]+w[i,j+1] 


由定理三知 判断w是否为凸即判断 w[i,j+1]-w[i,j]的值随着i的增加是否递减 
于是求K值的时候K[i,j]只和K[i+1,j] 和 K[i,j-1]有关，所以 可以以i-j递增为顺序递推各个状态值最终求得结果  将O(n^3)转为O(n^2)