堆排序

堆排序是一种树形选择排序方法，它的特点是：在排序的过程中，将array[0，...，n-1]看成是一颗完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲节点和孩子结点之间的内在关系，在当前无序区中选择关键字最大（最小）的元素。

1. 若array[0，...，n-1]表示一颗完全二叉树的顺序存储模式，则双亲节点指针和孩子结点指针之间的内在关系如下：

　　任意一节点指针 i：父节点：i==0 ? null : (i-1)/2

　　　　　　　　　　  左孩子：2*i + 1

　　　　　　　　　　  右孩子：2*i + 2

2. 堆的定义：n个关键字序列array[0，...，n-1]，当且仅当满足下列要求：(0 <= i <= (n-1)/2)

　　　　　　① array[i] <= array[2*i + 1] 且 array[i] <= array[2*i + 2]； 称为小根堆；

　　　　　　② array[i] >= array[2*i + 1] 且 array[i] >= array[2*i + 2]； 称为大根堆；

3. 建立大根堆：

　　n个节点的完全二叉树array[0，...，n-1]，最后一个节点n-1是第(n-1-1)/2个节点的孩子。对第(n-1-1)/2个节点为根的子树调整，使该子树称为堆。

　　对于大根堆，调整方法为：若【根节点的关键字】小于【左右子女中关键字较大者】，则交换。

　　之后向前依次对各节点（(n-2)/2 - 1）~ 0为根的子树进行调整，看该节点值是否大于其左右子节点的值，若不是，将左右子节点中较大值与之交换，交换后可能会破坏下一级堆，于是继续采用上述方法构建下一级的堆，直到以该节点为根的子树构成堆为止。

　　反复利用上述调整堆的方法建堆，直到根节点。

4.堆排序：（大根堆）

　　①将存放在array[0，...，n-1]中的n个元素建成初始堆；

　　②将堆顶元素与堆底元素进行交换，则序列的最大值即已放到正确的位置；

　　③但此时堆被破坏，将堆顶元素向下调整使其继续保持大根堆的性质，再重复第②③步，直到堆中仅剩下一个元素为止。

堆排序算法的性能分析：

　　空间复杂度:o(1)；

　　时间复杂度:建堆：o(n)，每次调整o(log n)，故最好、最坏、平均情况下：o(n*logn);

　　稳定性：不稳定

 

建立大根堆的方法：

 1     //构建大根堆：将array看成完全二叉树的顺序存储结构
 2     private int[] buildMaxHeap(int[] array){
 3         //从最后一个节点array.length-1的父节点（array.length-1-1）/2开始，直到根节点0，反复调整堆
 4         for(int i=(array.length-2)/2;i>=0;i--){ 
 5             adjustDownToUp(array, i,array.length);
 6         }
 7         return array;
 8     }
 9     
10     //将元素array[k]自下往上逐步调整树形结构
11     private void adjustDownToUp(int[] array,int k,int length){
12         int temp = array[k];   
13         for(int i=2*k+1; i<length-1; i=2*i+1){    //i为初始化为节点k的左孩子，沿节点较大的子节点向下调整
14             if(i<length && array[i]<array[i+1]){  //取节点较大的子节点的下标
15                 i++;   //如果节点的右孩子>左孩子，则取右孩子节点的下标
16             }
17             if(temp>=array[i]){  //根节点 >=左右子女中关键字较大者，调整结束
18                 break;
19             }else{   //根节点 <左右子女中关键字较大者
20                 array[k] = array[i];  //将左右子结点中较大值array[i]调整到双亲节点上
21                 k = i; //【关键】修改k值，以便继续向下调整，这个地方啊，是对照步骤，

             (d) 13<=38且49>=13,替换49和13的位置，49>=27,替换49和27的位置，仔细看图片的这一个步骤，从堆顶->最底部，往下调整，这个最核心了。
22             }
23         }
24         array[k] = temp;  //被调整的结点的值放人最终位置
25     }    

堆排序：

 1     //堆排序,也很经典，首先计算出原始的堆，堆顶是最大值或者最小值，之后再循环，将堆顶和堆底进行交换，给堆顶的值保存到堆底，下次循环的时候，只需要堆底之前的原始进行计算整理堆就行了。最后的array就是有序的了。
 2     public int[] heapSort(int[] array){
 3         array = buildMaxHeap(array); //初始建堆，array[0]为第一趟值最大的元素
 4         for(int i=array.length-1;i>1;i--){  
 5             int temp = array[0];  //将堆顶元素和堆低元素交换，即得到当前最大元素正确的排序位置
 6             array[0] = array[i];
 7             array[i] = temp;
 8             adjustDownToUp(array, 0,i);  //整理，将剩余的元素整理成堆
 9         }
10         return array;
11     }

删除堆顶元素（即序列中的最大值）：先将堆的最后一个元素与堆顶元素交换，由于此时堆的性质被破坏，需对此时的根节点进行向下调整操作。

1     //删除堆顶元素操作
2     public int[] deleteMax(int[] array){
3         //将堆的最后一个元素与堆顶元素交换，堆底元素值设为-99999
4         array[0] = array[array.length-1];
5         array[array.length-1] = -99999;
6         //对此时的根节点进行向下调整
7         adjustDownToUp(array, 0, array.length);
8         return array;
9     }

对堆的插入操作：先将新节点放在堆的末端，再对这个新节点执行向上调整操作。

假设数组的最后一个元素array[array.length-1]为空，新插入的结点初始时放置在此处。

 1     //插入操作:向大根堆array中插入数据data
 2     public int[] insertData(int[] array, int data){
 3         array[array.length-1] = data; //将新节点放在堆的末端
 4         int k = array.length-1;  //需要调整的节点
 5         int parent = (k-1)/2;    //双亲节点
 6         while(parent >=0 && data>array[parent]){
 7             array[k] = array[parent];  //双亲节点下调
 8             k = parent;
 9             if(parent != 0){
10                 parent = (parent-1)/2;  //继续向上比较
11             }else{  //根节点已调整完毕，跳出循环
12                 break;
13             }
14         }
15         array[k] = data;  //将插入的结点放到正确的位置
16         return array;
17     }

 

测试：

 1     public void toString(int[] array){
 2         for(int i:array){
 3             System.out.print(i+" ");
 4         }
 5     }
 6     
 7     public static void main(String args[]){
 8         HeapSort hs = new HeapSort();
 9         int[] array = {87,45,78,32,17,65,53,9,122};
10         System.out.print("构建大根堆：");
11         hs.toString(hs.buildMaxHeap(array));
12         System.out.print("\n"+"删除堆顶元素：");
13         hs.toString(hs.deleteMax(array));
14         System.out.print("\n"+"插入元素63:");
15         hs.toString(hs.insertData(array, 63));
16         System.out.print("\n"+"大根堆排序：");
17         hs.toString(hs.heapSort(array));    
18     }

1 构建大根堆：122 87 78 45 17 65 53 9 32 
2 删除堆顶元素：87 45 78 32 17 65 53 9 -99999 
3 插入元素63:87 63 78 45 17 65 53 9 32 
4 大根堆排序：9 17 32 45 53 63 65 78 87 

概述堆排序是一种树形选择排序，是对直接选择排序的有效改进。堆的定义如下：具有n个元素的序列(k1,k2,...,kn), 当且仅当满足:

时称之为堆。由堆的定义可以看出，堆顶元素（即第一个元素）必为最小项（小顶堆）或最大项（大顶堆）。若以一维数组存储一个堆，则堆对应一棵完全二叉树，且所有非叶结点（有子女的结点）的值均不大于(或不小于)其子女的值，根结点（堆顶元素）的值是最小(或最大)的。(a)大顶堆序列：(96, 83, 27, 38, 11, 09)(b)小顶堆序列：(12, 36, 24, 85, 47, 30, 53, 91)

初始时把要排序的n 个数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树（一维数组存储二叉树），调整它们的存储序，使之成为一个堆，将堆顶元素输出，得到n 个元素中最小(或最大)的元素。然后对剩下的n-1个元素重新调整使之成为堆，输出堆顶元素，得到n 个元素中次小(或次大)的元素。依此类推，直到最后得到有n个节点的有序序列。称这个过程为堆排序。

步骤&实例实现堆排序需解决两个问题：(1)如何将n 个待排序的数建成堆；(2)输出堆顶元素后，怎样调整剩余n-1 个元素，使其成为一个新堆。建堆方法（小顶堆）：对初始序列建堆的过程，就是一个反复进行筛选的过程。n 个结点的完全二叉树，则最后一个结点是第n/2个结点的子树。筛选从第n/2个结点为根的子树开始（n/2是最后一个有子树的结点），使该子树成为堆。之后向前依次对各结点为根的子树进行筛选，使之成为堆，直到根结点。如图建堆初始过程无序序列：(49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 49)

(a) 无序序列，初始二叉树，97（第8/2=4个结点）为最后一个结点（49）的父结点。 (b) 97>=49,替换位置，接下来对n/2的上一个结点65进行筛选。 (c) 13<=27且65>=13,替换65和13的位置，接下来对38进行替换（都大于它，不需操作），对49进行筛选。 (d) 13<=38且49>=13,替换49和13的位置，49>=27,替换49和27的位置。 (e) 最终得到一个堆，13是我们得到的最小数。调整堆的方法（小顶堆）：设有m 个元素的堆，输出堆顶元素后，剩下m-1 个元素。将堆底元素送入堆顶，堆被破坏，其原因仅是根结点不满足堆的性质。将根结点与左、右子树中较小元素的进行交换。若与左子树交换：如果左子树堆被破坏，则重复方法(2).若与右子树交换，如果右子树堆被破坏，则重复方法(2).继续对不满足堆性质的子树进行上述交换操作，直到叶子结点，堆被建成。调整堆只需考虑被破坏的结点，其他的结点不需调整。