牛客寒假算法基础集训营1 - D - 小a与黄金街道（欧拉函数）

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/317/D

思路：我们要知道如果 x 是 n 以内与 n 互质的一个数那么 n - x 也是与 n 互质的，gcd（x，n）== 1 就是 x 与 n 互质，题目就可以转化为，求 n 以内与 n 互质的数的和。这时就要用到欧拉函数及其性质了：

1 ~ N中与N互质的数的个数叫欧拉函数，记为φ(N)。性质：∀ N > 1，1 ~ N中与N互质的数的和为N ∗ φ(N) / 2。

那么答案明显就是：（A+B) * k ^ ( φ(n) * n / 2）。取模时用上同余定理。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9+7;
ll euler(ll x)
{
    ll ret = x;
    for(ll i = 2; i * i <= x; i++)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            ret = ret / i * (i - 1);
            while(x % i == 0) x /= i;
        }
    }
    if(x > 1) ret = ret / x * (x - 1);
    return ret;
}
ll qpow(ll a, ll b)
{
    ll ans = 1;
    while(b)
	{
        if (b & 1)  ans = (ans * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll n, k, a, b;
    scanf("%lld%lld%lld%lld", &n, &k, &a, &b);
    ll c = (a + b) % mod;
    ll t = euler(n) / 2;
    ll z = ((n % mod) * (t % mod)) % mod;
    printf("%lld\n", c*qpow(k,z) % mod);
}