最大公约数（数论GCD）

最新推荐文章于 2025-06-01 23:09:29 发布

Sher杨

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分类专栏：数论

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本文介绍了一道名为“最大公约数”的算法竞赛题目，通过对子序列的最大公约数及其长度的计算来寻找权值最大的子序列。采用预处理方式减少重复计算，提高效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

4488: [Jsoi2015]最大公约数

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Description

给定一个长度为 N 的正整数序列Ai对于其任意一个连续的子序列
{A_l,A_l+1...A_r}，我们定义其权值W(L,R )为其长度与序列中所有元素的最大公约数的乘积，即W(L,R) = (R-L+1) ∗ gcd (A_l..A_r)。
JYY 希望找出权值最大的子序列。

Input

输入一行包含一个正整数 N。
接下来一行，包含 N个正整数，表示序列Ai
1 < = Ai < = 10^12, 1 < = N < = 100,000

Output

输出文件包含一行一个正整数，表示权值最大的子序列的权值。

Sample Input

5
30 60 20 20 20

Sample Output

80
//最佳子序列为最后 4 个元素组成的子序列。

题解：长度为n的子序列的gcd最多有logn个，则可直接枚举右端点r，同时用数组g维护从1到r的所有gcd，去掉重复，同时用数组indx记录每个gcd出现的位置的左端点l，记录最大的ans即可。

#include<stdio.h>
#include <algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<deque>
#include<ctype.h>
#include<map>
#include<set>
#include<stack>
#include<string>
#include<algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define gcd(a,b) __gcd(a,b)
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define FAST_IO ios::sync_with_stdio(false)
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int MAX=1e5+10;
const int mod=1e9+7;
typedef long long ll;
using namespace std;

inline ll lcm(ll a,ll b){return a/gcd(a,b)*b;}
inline ll qpow(ll a,ll b){ll r=1,t=a; while(b){if(b&1)r=(r*t)%mod;b>>=1;t=(t*t)%mod;}return r;}
inline ll inv1(ll b){return qpow(b,mod-2);}
inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){if(!b){x=1;y=0;return a;}ll r=exgcd(b,a%b,y,x);y-=(a/b)*x;return r;}
inline ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';return x*f;}

const int N=1e5+5;
int indx[N],g[N];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;

    ll ans=0;
    int top=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        indx[++top]=i;
        scanf("%d",&g[top]);
        for(int j=top-1;j>=1;j--)
            g[j]=gcd(g[j],g[j+1]);

        int k=0;
        for(int j=1;j<=top;)
        {
            g[++k]=g[j];
            indx[k]=indx[j];
            while(g[k]==g[j]) j++;
        }
        top=k;
        for(int j=1;j<=top;j++)
            ans=max(ans,1ll*g[j]*(i-indx[j]+1));
    }

    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}