高斯分布期望的推导

最新推荐文章于 2025-05-13 11:51:30 发布

一只驽马

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文章标签：数学概率论

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本文详细介绍了高斯概率密度函数的积分过程，以此推导出高斯分布的期望。通过数学公式和解释，阐述了如何利用概率密度函数求得期望，并探讨了高斯分布的方差。

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1. 高斯概率密度函数的积分

令

I = \int + \infty - \infty e x p (- 1 2 σ 2 x 2) d x

$I = \int_{-\infty}^{+\infty}exp(-\frac{1}{2\sigma^2}x^2)dx$
它的平方则为：

I 2 = \int + \infty - \infty \int + \infty - \infty e x p (- 1 2 σ 2 x 2 - 1 2 σ 2 y 2) d x d y

$I^2 = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}exp(-\frac{1}{2\sigma^2}x^2 - \frac{1}{2\sigma^2}y^2)dxdy$
将坐标

(x,y) $(x,y)$ 转为极坐标

(r,θ) $(r, \theta)$ ，则有：

x = r c o s (θ) y = r s i n (θ)

$x = rcos(\theta)\\y = rsin(\theta)$
所以：

I 2 = \int 2 π 0 \int \infty 0 e x p (- r 2 2 σ 2) r d r d θ = 2 π \int \infty 0 e x p (- u 2 σ 2) 1 2 d u = π [e x p (- u 2 σ 2) (- 2 σ 2)] \infty 0 = 2 π σ 2

$\begin{align} I^2 &= \int_0^{2\pi}\int_0^{\infty}exp(-\frac{r^2}{2\sigma^2})rdrd\theta\\ &= 2\pi \int_0^{\infty}exp(-\frac{u}{2\sigma^2})\frac{1}{2}du \\ &= \pi[exp(-\frac{u}{2\sigma^2})(-2\sigma^2)]_0^\infty\\ &=2\pi\sigma^2 \end{align}$
从而我们有