如何直观地理解「协方差矩阵」？ - 知乎

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#概率论

博客围绕如何直观理解协方差矩阵展开，虽未给出具体内容，但核心聚焦于此，协方差矩阵是信息技术领域数据分析等方面的重要概念。
[转]浅谈协方差矩阵
weixin_33802505的博客
07-10 3941
一、统计学的基本概念 统计学里最基本的概念就是样本的均值、方差、标准差。首先，我们给定一个含有n个样本的集合，下面给出这些概念的公式描述： 均值： 标准差： 方差： 均值描述的是样本集合的中间点，它告诉我们的信息是有限的，而标准差给我们描述的是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。 以这两个集合为例，[0, 8, 12, 20]和[8, 9, 11, 12]，两个集合的均值都是10，...
矩阵运算_矩阵的协方差矩阵/两个矩阵的协方差矩阵_求解详细步骤示例
惊鸿一博
11-19 9569
在统计学中，方差是用来度量单个随机变量的离散程度，而协方差则一般用来刻画两个随机变量的相似程度。
【转】直观地理解协方差矩阵
泛用演化计算、通用人工智能优化模型
09-04 573
【转】直观地理解协方差矩阵 觉得有用的话,欢迎一起讨论相互学习~ 版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。 本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/a943368093/article/details/103765333 需要说明的是，协方差矩阵中研究的样本是一个维度为n的多维向量，因此协方差矩阵一定是一个n*n的方阵 ...
如何直观地理解「协方差矩阵」？
studyvcmfc的专栏
09-15 408
如何直观地理解「协方差矩阵」？ https://zhuanlan.zhihu.com/p/37609917
关于协方差矩阵的理解
peterchan88的专栏
08-22 483
在《主成分分析》中，我们用到了协方差矩阵，但当时并没有对其进行深入的讨论。为此，本文将针对协方差矩阵做一个详细的介绍，其中包括协方差矩阵的定义、数学背景与意义以及计算公式的推导。
协方差矩阵
m0_55196097的博客
05-05 1万+
对两个类内协方差矩阵进行对角化，可以将它们变换为对角矩阵。这个过程可以通过对每个协方差矩阵进行特征值分解来实现，从而得到它们的特征向量和特征值，进而得到它们的对角矩阵形式。这个过程的意义在于，它可以帮助我们找到一个新的坐标系，使得在这个坐标系下，每个特征之间都是独立的，从而简化了计算。具体来说，当我们使用对角协方差矩阵作为特征向量的坐标系时，它意味着每个特征之间都是相互独立的，从而方便了进一步的分析和处理。在实际应用中，对角化协方差矩阵可以用于降维、特征选择和分类等任务。
01扫盲 协方差矩阵、交叉熵、似然
qq_45769218的博客
10-24 524
总体方差，也叫做有偏估计，其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差：，其中，为总体的均值，为总体的标准差，为总体的样本数。样本方差，无偏方差，在实际情况中，总体均值是很难得到的，往往通过抽样来计算，于是有样本方差，计算公式如下：或者其中，为样本的均值，为样本的标准差，为样本的个数。此处，为什么要将分母由n变成n-1，主要是为了实现无偏估计减小误差，具体原理及推导公式如下：来自【浅谈】样本方差的分母“n”为什么要改为“n-1” - 知乎协方差（Covariance）
【卡尔曼滤波器】1_数学基础_均值、方差、协方差、协方差矩阵、矩阵的迹
qq757056521的博客
09-21 5943
最近重新学习了卡尔曼滤波器，为防止忘记了而每次又需要的时候都要找资料学习，又恰逢这次遇到了讲的特别好的老师，所以特别花时间把这一部分整理出来，并希望在整理完知识后再编程实现个相关的案例，以加深对知识的学习与巩固。 1，均值 2，方差 3，协方差 4，协方差矩阵 ...
（笔记）深度理解-主成分分析PCA
kuabiku的博客
07-20 617
其中，第一个新坐标轴选择是原始数据中方差最大的方向，第二个新坐标轴选取是与第一个坐标轴正交的平面中使得方差最大的，第三个轴是与第1,2个轴正交的平面中方差最大的。根据特征选择的原理，我们认为方差越大对应的信息越丰富，换句话说，我们需要找到一个合适的特征使得映射在这个特征上的数据信息损失尽可能的少。那么我们如何得这个方差最大的主成分方向呢，最经典的方法是特征值分解协方差矩阵，得到协方差矩阵的特征值和特征向量，选择特征值最大（即方差最大的）k个特征向量组成的矩阵。，e是任意一个特征轴的单位向量。
【机器学习】【线性代数】均值，无偏估计，总体/样本方差，样本标准差，矩阵中心化/标准化、协方差，正/不/负相关等，协方差矩阵
蔚蓝的天空Tom
05-28 6995
1.总体方差2.样本方差3.协方差(end)
如何理解协方差矩阵（散布矩阵）
weixin_43818893的博客
04-01 1903
这学期开了模式识别的学习课程，经常提到概率论与数理统计的一个概念：协方差矩阵（在模式识别中又叫散布矩阵）。理解这个矩阵严格意义上来说其实不需要太多先导知识，我们只需要了解一些线性代数基本的概念。但是你如果不了解协方差矩阵，听模式识别的课程就会云里雾里（就像我一样）。 那么在学习协方差矩阵之前 首先你需要知道一些统计学的基本概念 1.均值： 2.样本标准差： 均值很好理解，是描述样本集合中的中间点，是所有信息的平均。而标准差描述的是一种散布度，比如[0,10,11]和[6,7,8]的均值是一样的都是7，但
协方差与协方差矩阵
qq_41839450的博客
03-31 275
https://www.cnblogs.com/terencezhou/p/6235974.html
浅谈协方差矩阵
二赛君
05-27 599
文自：http://pinkyjie.com/2010/08/31/covariance/ 统计学的基本概念 学过概率统计的孩子都知道，统计里最基本的概念就是样本的均值，方差，或者再加个标准差。首先我们给你一个含有n个样本的集合X={X1,…,Xn} ，依次给出这些概念的公式描述，这些高中学过数学的孩子都应该知道吧，一带而过。 均值： X¯=∑ni=1Xin 标准差
协方差和相关系数最通俗易懂的理解
qq_40687771的博客
12-24 258
https://www.zhihu.com/question/20852004
方差、协方差、相关系数的理解
热门推荐
yongrl的博客
02-27 4万+
方差和协方差机器学习中常见的两个概念，公式也几乎是随处可见，但是每见一次都像是初次见面，又去想半天各种公式、概念和意义，所以下定决心整理一下。 方差和协方差 定义 方差 度量单个随机变量的离散程度，公式如下： σx2=1n−1∑i=1n(xi−x‾)2 \sigma^2_x = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2 σx2​=n−11​i=1∑...
终于搞懂协方差了
gule456的博客
04-02 644
转载于：http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=14444（感谢原作者）协方差的意义 在概率论中，两个随机变量 X 与 Y 之间相互关系，大致有下列3种情况： 当 X, Y 的联合分布像上图那样时，我们可以看出，大致上有： X 越大 Y 也越大， X 越小 Y 也越小，这种情况，我们称为“正相关”。 当X, Y ...
协方差自适应调整的进化策略（CMA-ES）转载自知乎——补充
小唐要努力的博客
10-29 1万+
之前转载的原文好像挂了，于是在知乎上又找了一篇相关的文章，原文链接为：https://zhuanlan.zhihu.com/p/150946035 本文仅作个人学习用，若有侵权请联系删除 进化策略及其在深度学习中的应用 本文翻译自：https://lilianweng.github.io/lil-log/2019/09/05/evolution-strategies.html,这篇博文很早就看过，但是每次都是似懂非懂，各种数学公式，虽然我做这个方向的研究很久，但是仍然不能全懂。这个端午，闲来无事.
通俗理解协方差与相关系数
见贤思齐
07-25 1142
参考知乎： https://www.zhihu.com/question/20852004 协方差就是俩人跳舞的舞步协同程度，如果一起向前走或者向后退，协方差就是正值；如果一个朝前一个朝后，协方差就是负值；如果各自都不动，就是零。 相关系数就是标准化的协方差，就是剔除了俩人舞步尺度大小不一的影响...
协方差矩阵的数学含义及应用
追梦水手的博客
05-27 1799
作者：Vicktore 链接：https://www.zhihu.com/question/24283387/answer/523794714 来源：知乎 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。 协方差矩阵的定义很简单。假设你有n个随机变量, 你要怎么刻画它们之间的相关性？一个很简单的想法就是考虑所有的配对协方差. 但是这总共有n^2 个数字，实在是有点多。...
什么是协方差？协方差矩阵？
最新发布
04-09
<think>嗯，用户想了解协方差和协方差矩阵的概念及用途，还问了定义、计算和应用场景。首先，我需要先回忆协方差的定义。协方差是衡量两个变量之间线性关系的指标，对吧？当协方差为正，说明两个变量同向变化；负的则相反变化；接近零则没有线性关系。然后协方差矩阵就是把多个变量之间的协方差排列成矩阵，对角线是各个变量的方差，非对角线是协方差。 接下来是计算部分。协方差的计算公式应该是样本协方差，比如用$\frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$。协方差矩阵的话，假设有d个变量，那矩阵的大小就是d×d，每个元素Cov(X_i, X_j)就是对应变量的协方差。这时候可能需要提到数据矩阵去中心化后的乘积再除以n-1，或者用矩阵运算的方式表示，比如$\frac{1}{n-1} X^T X$，对吧？ 然后应用场景，用户给的引用里提到了主成分分析（PCA）、金融风险分析、图像处理如人脸识别中的协方差矩阵应用，还有3D高斯泼溅中的投影协方差矩阵。需要把这些内容整理进去。比如PCA中，协方差矩阵帮助找到数据的主成分；金融里用来分析不同资产的风险关联；图像处理中协方差反映差异部分，可能用于识别不同人脸的特征差异。 还要注意引用用户提供的资料，比如引用[2]提到协方差矩阵和相关系数矩阵的区别，协方差矩阵在单个指标方差大的情况下更适用，而相关系数矩阵在需要标准化的情况下使用。引用[3]解释了协方差正负的含义，引用[4]提到了3D高斯泼溅中的投影应用。这些都需要自然地融入到回答里，并在适当的位置加上引用标记。 用户可能还有更深层的需求，比如为什么协方差矩阵是对称的，或者在实际计算中如何处理大数据集。不过根据问题，主要是定义、计算和应用。需要确保回答结构清晰，分点说明，可能用数学公式展示计算步骤，同时结合例子说明应用场景。 最后生成相关问题的时候，要围绕协方差矩阵延伸，比如与相关系数矩阵的区别、在PCA中的具体应用、数学性质如半正定性，以及实际例子如金融分析中的使用。这样能帮助用户进一步学习相关知识点。</think>### 协方差与协方差矩阵详解 #### 一、协方差的定义 协方差（Covariance）是统计学中用于衡量两个随机变量之间线性关系的指标，定义公式为： $$ \text{Cov}(X,Y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) $$ 其中： - $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ 是样本均值； - $n$ 是样本数量； - 分母用$n-1$是为了无偏估计（贝塞尔校正）[^3]。 **解读**： - 协方差为正：变量$X$和$Y$倾向于同方向变化； - 协方差为负：变量$X$和$Y$倾向于反方向变化； - 协方差接近零：两变量无线性相关性[^3]。 --- #### 二、协方差矩阵的计算 对于包含$d$个变量的数据集，协方差矩阵$\Sigma$是一个$d \times d$的对称矩阵，其元素$\Sigma_{ij}$表示第$i$个变量和第$j$个变量的协方差。计算公式为： $$ \Sigma = \frac{1}{n-1} X^T X $$ 其中： - $X$ 是去中心化后的数据矩阵（每列减去对应变量的均值）； - $T$ 表示矩阵转置[^1]。 **示例**（三维数据点的协方差矩阵）： $$ \Sigma = \begin{bmatrix} \text{Var}(X) & \text{Cov}(X,Y) & \text{Cov}(X,Z) \\ \text{Cov}(Y,X) & \text{Var}(Y) & \text{Cov}(Y,Z) \\ \text{Cov}(Z,X) & \text{Cov}(Z,Y) & \text{Var}(Z) \end{bmatrix} $$ --- #### 三、应用场景 1. **主成分分析（PCA）** 协方差矩阵用于计算数据的主成分，通过特征值分解找到方差最大的方向，实现降维。当单个变量的方差对分析起关键作用时（如人脸识别中的人脸差异），协方差矩阵更优[^2]。 2. **金融风险分析** 协方差矩阵可量化不同资产间的风险关联性。例如，股票A和股票B的高正协方差表明它们倾向于同步涨跌，可能增加投资组合风险[^3]。 3. **3D高斯泼溅（3D Gaussian Splatting）** 在计算机图形学中，协方差矩阵用于描述3D高斯分布的投影形状，通过矩阵变换实现高效的渲染效果[^4]。 4. **热力图与相关性分析** 协方差矩阵可通过热力图直观展示变量间的关系强度，正负协方差对应颜色深浅和方向[^3]。 --- #### 四、协方差矩阵 vs 相关系数矩阵 | **特性** | **协方差矩阵** | **相关系数矩阵** | |------------------|-------------------------------|--------------------------| | 标准化 | 未标准化（保留量纲） | 标准化（无量纲） | | 适用场景 | 变量量纲重要时（如人脸识别） | 需消除量纲影响时 | | 对角线元素 | 变量的方差 | 固定为1 | ---
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