5、超声断层成像逆问题求解方法及计算效率分析

超声断层成像逆问题求解方法及计算效率分析

1. 逆问题与多阶段迭代法概述

在超声断层成像领域，逆问题的求解面临着诸多挑战。逆问题通常具有大量未知参数和高计算复杂度，传统的梯度下降方法在解决这类问题时，由于残差泛函可能存在局部极小值，容易陷入局部最优解，从而导致求解结果不准确。

为了解决这一问题，提出了多阶段迭代法（MSM）。该方法基于逆散射问题在极低频时具有线性特性这一原理。当波长相对于目标物体足够大时，像Born近似这样的线性近似方法可以有效应用。然而，为了获得足够的空间分辨率，实际的探测频率往往远高于线性近似适用的频率范围。

多阶段迭代法从低频开始，逐步增加探测信号的带宽。初始阶段仅使用信号频谱中的低频部分，使得平均波长足够长，确保梯度下降方法能够收敛。每一个阶段得到的近似解会作为下一阶段梯度下降过程的初始近似值。这种多阶段的方法能够确保梯度下降过程收敛到残差泛函的全局最小值。

2. 问题描述

在研究中，考虑压力波在液体介质和软组织中的传播。可以使用标量波模型对这些波进行数值模拟，该模型能够高精度地描述波的衍射、吸收、折射和多次散射等物理过程。

给定介质中的声速 $v(x)$ 和吸收系数 $a(x)$，可以根据以下方程和初始条件计算介质中的声压 $u(x, p, t)$：
[
\begin{cases}
\frac{1}{v^2(x)}u_{tt}(x, p, t) + a(x)u_t(x, p, t) - \Delta u(x, p, t) = \delta(x - p)g(t) & (1) \
u(x, p, 0) = 0; \quad u_t(x, p, 0) = 0 &