34、线性粘弹性响应建模与Prony级数应用

线性粘弹性响应建模与Prony级数应用

1. 无量纲化处理

在研究中，我们对函数进行无量纲化处理。设函数 $U(t)$ 的Caputo - Fabrizio算子定义为：
[
^{CF}D_{t}^{\alpha}U(t) = \frac{1}{1 - \alpha}\int_{0}^{t}\exp\left[-\frac{\alpha}{1 - \alpha}(t - s)\right]\frac{d}{ds}U(s)ds
]
通过变量替换 $Y = \frac{U}{U_0}$ 和 $\tau = \frac{t}{t_0}$，使得 $0 < Y < 1$ 和 $0 < \tau < 1$，可得到：
[
^{CF}D_{t}^{\alpha}U(t) = \frac{1}{1 - \alpha}\int_{0}^{\tau}\exp\left[-\frac{\alpha}{1 - \alpha}(t - s)\right]U_0\frac{dY(s)}{ds}ds
]
若仅对时间进行无量纲化，即 $\tau = \frac{t}{t_0}$，则有：
[
^{CF}D_{t}^{\alpha}U(t) = \frac{1}{1 - \alpha}\int_{0}^{\tau}\exp\left[-\frac{\alpha}{1 - \alpha}(t - s)\right]\frac{dU(s)}{ds}ds
]
与Caputo导数不同，这种情况下卷积积分前不会出现额外的前置因子。

2. 线性粘弹性响应建模

2.1 本构方程：时域