21、线性变换方法实现降维：SVD在文本挖掘中的应用

线性变换方法实现降维：SVD在文本挖掘中的应用

在数据挖掘和自然语言处理领域，降维是一项至关重要的技术，它能够帮助我们处理高维数据，减少计算成本，同时挖掘数据中的潜在信息。本文将详细介绍基于奇异值分解（SVD）的线性变换降维方法，并通过具体的实验展示其在文本挖掘中的应用。

1. 奇异值分解（SVD）基础

奇异值分解（SVD）是一种矩阵分解技术，它可以将一个给定的 $n×m$ 矩阵 $H$ 分解为一组奇异值和两个正交的奇异向量基，具体公式如下：
[H = U S V^T]
其中，$U$ 和 $V$ 分别是 $n×n$ 和 $m×m$ 的酉矩阵（即 $U^T = U^{-1}$ 和 $V^T = V^{-1}$），$S$ 是一个 $n×m$ 的对角矩阵（即当 $i≠j$ 时，$s_{ij} = 0$），$T$ 表示转置（对于复值矩阵为共轭转置）。$S$ 的对角元素称为 $H$ 的奇异值，$U$ 和 $V$ 的列分别称为 $H$ 的“左”和“右”奇异向量。

SVD 本身并不是一种降维技术，而是一种矩阵分解方法。其重要之处在于，它能够为给定的数据集生成最优的正交基。具体来说，$U$ 的 $n$ 列构成了由 $H$ 的行所张成的向量空间的正交基；如果 $H$ 是一个 TF-IDF 矩阵，那么 $U$ 的列将构成相关文档空间的正交基。同理，$V$ 的 $m$ 列构成了由 $H$ 的列所张成的向量空间的正交基，对于 TF-IDF 矩阵而言，$V$ 将为相关的词空间提供正交基。

这些正交基的最优性体现在它们能够将数据的变异性尽可能集中在较少的维度上。也就是说，第一个奇异向量与数据变异性最大的方向对齐，第二个奇异向量与第一个奇异向量正交且数据变异性最大的方向